《2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版》

如图(1),$MA_{1}// NA_{2}$,则$∠A_{1}+∠A_{2}= $180度；
如图(2),$MA_{1}// NA_{3}$,则$∠A_{1}+∠A_{2}+∠A_{3}= $360度；
如图(3),$MA_{1}// NA_{4}$,则$∠A_{1}+∠A_{2}+∠A_{3}+∠A_{4}= $540度；
如图(4),$MA_{1}// NA_{5}$,则$∠A_{1}+∠A_{2}+∠A_{3}+∠A_{4}+∠A_{5}= $720度。
从上述结论中你发现的规律填一填。
如图(5),$MA_{1}// NA_{n}$,则$∠A_{1}+∠A_{2}+∠A_{3}+... +∠A_{n}= $$(n-1)×180$度。

答案： 【解析】：
第一个图：学过的平行线性质，两直线平行，同旁内角互补，
所以，$∠A_{1}+∠A_{2}= 180^\circ$。
第二个图：过$A_{2}$作$A_{2}C// MA_{1}$，
根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，
得到$∠A_{1}+∠CA_{2}A_{1}=180^\circ$，$∠A_{2}+∠A_{2}A_{3}C=180^\circ$，
所以，$∠A_{1}+∠A_{2}+∠A_{3}=360^\circ$。
第三个图：过$A_{2}$作$A_{2}C// MA_{1}$，$A_{2}D// NA_{4}$，
根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，
得到$∠A_{1}+∠BA_{2}A_{1}=180^\circ$，$∠BA_{2}A_{3}+∠DA_{2}A_{3}=180^\circ$，$∠A_{3}+∠A_{3}A_{4}D=180^\circ$，
所以，$∠A_{1}+∠A_{2}+∠A_{3}+∠A_{4}=540^\circ$。
第四个图：过$A_{2}$作$A_{2}C// MA_{1}$，$A_{2}D// NA_{5}$，过$A_{4}$作$A_{4}E// NA_{5}$，
根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，
得到$∠A_{1}+∠CA_{2}A_{1}=180^\circ$，$∠BA_{2}A_{3}+∠DA_{2}A_{3}=180^\circ$，$∠A_{3}+∠DA_{4}E=180^\circ$，$∠EA_{4}A_{5}+∠A_{5}=180^\circ$，
所以，$∠A_{1}+∠A_{2}+∠A_{3}+∠A_{4}+∠A_{5}=720^\circ$。
第五个图：
规律：第一个图是两个角相加是$180^\circ$，以后每增加一个角，和就增加$180^\circ$，
如果有$n$个角，那么和为$(n-1)×180^\circ$，
所以，$∠A_{1}+∠A_{2}+∠A_{3}+\cdots+∠A_{n}=(n-1)×180^\circ$。
【答案】：
$180$；$360$；$540$；$720$；$(n-1)×180$

1. (汕尾)如图,能判定$EB// AC$的条件的是(D)

A.$∠C= ∠ABE$
B.$∠A= ∠EBD$
C.$∠C= ∠ABC$
D.$∠A= ∠ABE$

答案： 【解析】：要判定$EB// AC$，需要找到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的条件。
选项A：$∠C$与$∠ABE$，$∠C$是直线$AC$与$BC$被$DC$所截形成的角，$∠ABE$是直线$EB$与$AB$被$EB$所截形成的角，它们不是同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行。
选项B：$∠A$与$∠EBD$，$∠A$是直线$AC$与$AB$被$AC$所截形成的角，$∠EBD$是直线$EB$与$DC$被$EB$所截形成的角，位置关系不符，不能判定平行。
选项C：$∠C=∠ABC$，这两个角是$\triangle ABC$的内角，只能说明$\triangle ABC$是等腰三角形（$AB=AC$），与$EB// AC$无关。
选项D：$∠A=∠ABE$，$∠A$和$∠ABE$是直线$AC$与$EB$被直线$AB$所截形成的内错角。根据内错角相等，两直线平行，可判定$EB// AC$。
【答案】：D

2. (德州)如图,$AD是∠EAC$的平分线,$AD// BC$,$∠B= 30^{\circ }$,则$∠C$为(A)
A.$30^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$80^{\circ }$
D.$120^{\circ }$

答案： 【解析】：因为AD//BC，且∠B=30°，根据两直线平行，同位角相等，所以∠EAD=∠B=30°。
又因为AD是∠EAC的平分线，所以∠EAC=2∠EAD=2×30°=60°。
∠EAC是△ABC的外角，根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和，可得∠EAC=∠B+∠C。
因此，∠C=∠EAC - ∠B=60° - 30°=30°。
【答案】：A

3. (丽水)如图,直线$a// b$,$AC⊥AB$,$AC交直线b于点C$,$∠1= 60^{\circ }$,则$∠2$的度数是(D)

A.$50^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$35^{\circ }$
D.$30^{\circ }$

答案： 【解析】：
由于$ a // b $，根据平行线的性质，$\angle 1$和$\angle ACB$是同位角，所以$\angle 1 = \angle ACB = 60^\circ$。
已知$AC \perp AB$，所以$\angle BAC = 90^\circ$。
在$\triangle ABC$中，内角和为$180^\circ$，所以$\angle 2 = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$。
【答案】：D

4. (滨州)如图所示,是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图。画图的原理是(A)
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.两直线平行,同位角相等
D.两直线平行,内错角相等

答案： 【解析】：用直尺和三角尺画平行线时，三角尺的一个角在直尺边缘固定，移动三角尺后，这个角的位置发生变化，但角的大小不变。此时，三角尺的同一个角在两条直线被直尺（截线）所截的位置形成了同位角，因为这两个同位角是同一个三角尺的角，所以度数相等。根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，可得出所画的两条直线平行。图中∠EAB和∠ACF是同位角，且它们相等，从而判定直线a与直线b平行。
【答案】：A

5. (宜宾)如图,直线$a$,$b被第三条直线c$所截,如果$a// b$,$∠1= 70^{\circ }$,那么$∠3$的度数是70°。

答案： 【解析】：因为直线$a// b$，$∠1 = 70^{\circ}$，$∠1$与$∠2$是对顶角，所以$∠1=∠2 = 70^{\circ}$。又因为$a// b$，$∠2$与$∠3$是同位角，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠2 = ∠3$，所以$∠3=70^{\circ}$。
【答案】：70°

6. (汕尾)已知$a$,$b$,$c$为平面内三条不同直线,若$a⊥b$,$c⊥b$,则$a与c$的位置关系是平行。

答案： 【解析】：
由于直线$a$和直线$c$都与直线$b$垂直，根据平面几何的性质，两条都与同一条直线垂直的直线必定平行。但这里需要注意，题目没有给出$a$和$c$是否在同一平面内与$b$相交，若$a$和$c$在$b$的垂线上但不在同一平面（即空间中），则$a$和$c$可能是异面的。但根据题意“$a$,$b$,$c$为平面内三条不同直线”，我们可以确定$a$和$c$在同一平面内。
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线必定平行。因此，$a$与$c$平行。
但还需要考虑一种特殊情况，即当$a$和$c$重合时，它们也满足都与$b$垂直的条件。但题目中明确指出$a$,$b$,$c$是三条“不同”的直线，所以$a$与$c$不可能重合。
综上，$a$与$c$的位置关系是平行。
【答案】：平行

7. (杭州)如图,已知直线$a// b$,若$∠1= 40^{\circ }50'$,则$∠2= $$139^\circ 10'$。

答案： 【解析】：
由于直线 $a // b$，根据平行线的性质，$\angle 1$ 和 $\angle 2$ 是同旁内角，它们的和为 $180^\circ$。
已知 $\angle 1 = 40^\circ 50'$，则 $\angle 2$ 可以通过以下计算求出：
$\angle 2 = 180^\circ - \angle 1$。
首先将 $180^\circ$ 转换为度和分的形式，即 $180^\circ = 179^\circ 60'$。
然后进行减法运算：
$\angle 2 = 179^\circ 60' - 40^\circ 50' = 139^\circ 10'$。
【答案】：$139^\circ 10'$