《2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版》

【针对训练 3】 如下图, $ \triangle ACF \cong \triangle DBE $, $ \angle E = \angle F $, $ AD = 9cm $, $ BC = 5cm $,求 AB 的长。

答案： 【解析】：
由于$\triangle ACF \cong \triangle DBE$，且$\angle E=\angle F$，
根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，
所以有$AC=DB$。
因为$AC=AB+BC$，$DB=DC+CB$，
所以$AB+BC=DC+CB$，
等式两边同时减去$BC$，
得到$AB=DC$，
已知$AD=9cm$，$BC=5cm$，
所以$AB+DC+BC=9cm$，
将$AB=DC$代入上式，
得到$2AB+5cm=9cm$，
移项并化简得$2AB=4cm$，
所以$AB=2cm$。
【答案】：$2cm$

例 4 如图,给出下列四组条件：
① $ AB = DE $, $ BC = EF $, $ AC = DF $；
② $ AB = DE $, $ \angle B = \angle E $, $ BC = EF $；
③ $ \angle B = \angle E $, $ BC = EF $, $ \angle C = \angle F $；
④ $ AB = DE $, $ AC = DF $, $ \angle B = \angle E $。
其中,能使 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $ 的条件共有 (C)

A.1 组
B.2 组
C.3 组
D.4 组

答案： 【解析】：判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”。
条件①：$AB = DE$，$BC = EF$，$AC = DF$，满足“SSS”（三边对应相等），可判定$\triangle ABC \cong \triangle DEF$；
条件②：$AB = DE$，$\angle B = \angle E$，$BC = EF$，满足“SAS”（两边及其夹角对应相等），可判定$\triangle ABC \cong \triangle DEF$；
条件③：$\angle B = \angle E$，$BC = EF$，$\angle C = \angle F$，满足“ASA”（两角及其夹边对应相等），可判定$\triangle ABC \cong \triangle DEF$；
条件④：$AB = DE$，$AC = DF$，$\angle B = \angle E$，为“SSA”（两边及其中一边的对角对应相等），无法判定$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
综上，能判定全等的条件有①②③，共3组。
【答案】：C

【针对训练 4】 如右图,点 D、E 分别在 AB、AC 上,且 $ AD = AE $, $ \angle BDC = \angle CEB $,求证： $ BD = CE $。

答案： 【解析】：
已知$AD=AE$，
根据等边对等角可得：$\angle ADC=\angle AEB$，
又因为$\angle BDC=\angle CEB$，$\angle ADB+\angle BDC=180^{\circ}$，$\angle AEC+\angle CEB=180^{\circ}$，
所以$\angle ADB=\angle AEC$。
在$\triangle ADB$和$\triangle AEC$中，
$\begin{cases}\angle A=\angle A,\\AD=AE,\\\angle ADB=\angle AEC.\end{cases}$
根据全等三角形判定定理中的角边角（$ASA$）可得：
$\triangle ADB\cong\triangle AEC$。
根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，
所以$BD=CE$。
【答案】：通过证明$\triangle ADB\cong\triangle AEC$（$ASA$），得到$BD=CE$。

例 5 已知：线段 a 和 $ \angle \alpha $,如图所示。
求作： $ \triangle ABC $,使 $ BC = a $, $ \angle ABC = \angle ACB = \angle \alpha $。

答案： 【解析】：要作满足条件的△ABC，已知BC=a，∠ABC=∠ACB=∠α。首先确定三角形的一条边BC，其长度为给定线段a，所以先作出线段BC=a。接着，因为∠ABC和∠ACB都等于∠α，这两个角分别以B和C为顶点，以BC为公共边，所以需要在线段BC的两端点B和C处，分别以BC为一边作等于∠α的角，且这两个角应在BC的同侧，这样两角的另一边BM和CN会相交于点A，点A与B、C连接后即可得到所求三角形。
【答案】：
(1)作线段BC=a；
(2)在线段BC的两端分别以B为顶点，BC为一边作∠CBM=∠α，以C为顶点，CB为一边作∠BCN=∠α（两角在BC同侧）；
(3)BM和CN交于点A，则△ABC就是所求作的三角形。

【针对训练 5】 如图,已知线段 a。
求作： $ \triangle ABC $,使 $ AB = a $, $ BC = AC = 2a $。

答案： 【解析】：
1. 首先，我们作一条线段$AB$，使其长度等于给定的线段$a$。
2. 接着，我们分别以点$A$和点$B$为圆心，以$2a$为半径，作两个圆。
3. 这两个圆会在两点相交，其中一点是已知的点$A$或$B$，另一点我们记为点$C$（选择不与$A$或$B$重合的那个交点）。
4. 最后，我们连接点$A$、$B$和$C$，形成三角形$\triangle ABC$。
由于$AB = a$，且$AC = BC = 2a$，所以$\triangle ABC$满足题目要求。
【答案】：
作线段$AB = a$，分别以$A$、$B$为圆心，$2a$为半径作圆，两圆交于点$C$（不与$A$、$B$重合），连接$AB$、$AC$、$BC$，则$\triangle ABC$即为所求。

例 6 如下图所示,小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E。C、E、A 三点在同一直线上,C、B、D 三点也在同一直线上。B、C 相距 20 米,D、C 相距 40 米,乙楼高 BE 为 15 米,小明身高忽略不计,则甲楼高 AD 为 (D)
A.40 米
B.20 米
C.15 米
D.30 米

答案： 【解析】：由题意可知，作$EF\perp AD$于$F$，可得四边形$BEFD$是矩形。
因为$EF// CD$，所以$\angle BCE=\angle FEA$，且$EF=DB=DC-BC=20$，
所以$EF=CB$。
又因为$AD\perp CD$，$EB\perp BC$，所以$\angle AFE=\angle EBC=90^\circ$。
在$\triangle AFE$和$\triangle EBC$中，
$\begin{cases}\angle AFE=\angle EBC,\\EF=CB,\\\angle BCE=\angle FEA.\end{cases}$
所以$\triangle AFE\cong\triangle EBC(ASA)$，
所以$AF=BE=15$米，
从而$AD=AF+FD=AF+EB=30$米。
【答案】：D

【针对训练 6】 如右图所示,AB、CD 表示两根长度相等的铁条,若 O 是 AB、CD 的中点,经测量 $ AC = 15cm $,则容器的内径是 (D)
A.12cm
B.13cm
C.14cm
D.15cm

答案： D