《2025年复习大本营期末假期复习一本通暑假八年级数学北师大版》

28. 若多项式$M与-\frac {ab}{2}的乘积为-4a^{3}b^{3}+3a^{2}b^{2}-\frac {ab}{2}$,则$M$等于(C)
A.$-8a^{2}b^{2}+6ab-1$
B.$-2a^{2}b^{2}+\frac {3}{2}ab+\frac {1}{4}$
C.$8a^{2}b^{2}-6ab+1$
D.$2a^{2}b^{2}-\frac {3}{2}ab+\frac {1}{4}$

答案： 【解析】：已知多项式$M$与$-\frac{ab}{2}$的乘积为$-4a^{3}b^{3} + 3a^{2}b^{2} - \frac{ab}{2}$，要求$M$，则$M$等于该乘积除以$-\frac{ab}{2}$，即：
$\begin{aligned}M&=\left(-4a^{3}b^{3} + 3a^{2}b^{2} - \frac{ab}{2}\right)÷\left(-\frac{ab}{2}\right)\\&=-4a^{3}b^{3}÷\left(-\frac{ab}{2}\right) + 3a^{2}b^{2}÷\left(-\frac{ab}{2}\right) - \frac{ab}{2}÷\left(-\frac{ab}{2}\right)\\&=(-4)÷\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot a^{3-1}b^{3-1} + 3÷\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot a^{2-1}b^{2-1} - \left(\frac{1}{2}÷\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\\&=8a^{2}b^{2} - 6ab + 1\end{aligned}$
【答案】：C

29. 若$(x+m)(x+n)= x^{2}+5x+4$,则有(D)
A.$m,n$为异号
B.$m,n$为异号,且绝对值较大的为负
C.$m,n$同时为负
D.$m,n$同时为正

答案： 【解析】：
首先，我们将给定的多项式 $(x+m)(x+n)$ 展开，得到：
$(x+m)(x+n) = x^2 + (m+n)x + mn$
由题目条件，这个多项式等于 $x^2 + 5x + 4$。
因此，我们可以列出以下方程组来找出 $m$ 和 $n$ 的值或关系：
$\begin{cases}m + n = 5 \\mn = 4\end{cases}$
解这个方程组，我们可以找到满足条件的 $m$ 和 $n$ 的值。
虽然我们可以直接解出 $m$ 和 $n$（实际上，解为 $m=4, n=1$ 或 $m=1, n=4$，但由于题目只要求判断 $m$ 和 $n$ 的符号和相对大小，我们不需要真的解出具体的数值。
从方程组中，我们可以观察到：
$m+n=5$，说明 $m$ 和 $n$ 的和是正数。
$mn=4$，说明 $m$ 和 $n$ 必须同号，因为异号的两个数相乘结果必为负。
由于 $m+n=5$ 是正数，且 $mn=4$ 也是正数，我们可以推断出 $m$ 和 $n$ 必须同时为正数。如果它们同时为负数，那么它们的和也将是负数，这与 $m+n=5$ 矛盾。
【答案】：D

30. 计算:$(1-\frac {1}{2^{2}})(1-\frac {1}{3^{2}})(1-\frac {1}{4^{2}})\cdot ... \cdot (1-\frac {1}{9^{2}})(1-\frac {1}{10^{2}})$

答案： 【解析】：观察原式，每个括号内的式子都符合平方差公式$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$的形式，其中$a$为各项的分母，$b = \frac{1}{a}$。
将每个括号展开可得：
$\begin{aligned}&(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2}) \cdots (1 - \frac{1}{9^2})(1 - \frac{1}{10^2})\\=&(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3})(1 - \frac{1}{4})(1 + \frac{1}{4}) \cdots (1 - \frac{1}{9})(1 + \frac{1}{9})(1 - \frac{1}{10})(1 + \frac{1}{10})\\=&\frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × \frac{5}{4} × \cdots × \frac{8}{9} × \frac{10}{9} × \frac{9}{10} × \frac{11}{10}\end{aligned}$
通过观察可以发现，从第二项开始，每一项的分子都与后一项的分母可以约分，例如$\frac{3}{2}$的分子$3$与$\frac{2}{3}$的分母$3$约分，$\frac{4}{3}$的分子$4$与$\frac{3}{4}$的分母$4$约分，以此类推，约分后只剩下第一项的分子和最后一项的分母，以及第一项的分母和最后一项的分子。
即：
$\frac{1}{2} × \frac{11}{10} = \frac{11}{20}$
【答案】：$\frac{11}{20}$

31. 已知$2a-3b-4c= 4$,求$4^{a}÷8^{b}×(\frac {1}{16})^{c}-4$的值.

答案： 【解析】：
首先我们将给定的式子进行化简。
根据指数运算法则，我们有：
$4^{a} ÷ 8^{b} × \left(\frac{1}{16}\right)^{c} - 4$
$= 2^{2a} ÷ 2^{3b} × 2^{-4c} - 4$
$= 2^{2a - 3b - 4c} - 4$
根据题目给出的条件 $2a - 3b - 4c = 4$，代入上式得：
$= 2^{4} - 4$
$= 16 - 4$
$= 12$
【答案】：12

32. 试说明:不论$x,y$为何值,$x^{2}+y^{2}-2x+4y+7$的值总是正数.

答案： 【解析】：
首先，我们将给定的多项式 $x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 7$ 进行配方。
对于 $x$ 的部分，我们有 $x^{2} - 2x$，可以配成 $(x - 1)^{2} - 1$；
对于 $y$ 的部分，我们有 $y^{2} + 4y$，可以配成 $(y + 2)^{2} - 4$。
因此，原式可以写为：
$x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 7 = (x - 1)^{2} - 1 + (y + 2)^{2} - 4 + 7$
$= (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + 2$
由于平方项 $(x - 1)^{2}$ 和 $(y + 2)^{2}$ 都是非负的，且当 $x \neq 1$ 或 $y \neq -2$ 时，至少有一个平方项是正的。
再加上常数2，整个表达式的值必然大于0。
即使 $x = 1$ 且 $y = -2$，整个表达式的值也为2，仍然大于0。
【答案】：
因为 $x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 7 = (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + 2$，
由于平方项总是非负的，且常数项为2，所以整个表达式的值总是正数。

33. 阅读下面的材料,因为$(x+3)(x-2)= x^{2}+x-6$,所以$(x^{2}+x-6)÷(x-2)= x+3$. 这说明$x^{2}+x-6能被x-2$整除,同时也说明多项式$x^{2}+x-6有一个因式为x-2$;另外,当$x= 2$时,多项式$x^{2}+x-6$的值为 0.
试回答下面问题:
(1)根据上面的材料猜想:多项式的值为0、多项式有因式$x-2$、多项式能被$x-2$整除,这之间存在着一种什么样的联系?
当$x=2$时，多项式的值为0；多项式有因式$x-2$；多项式能被$x-2$整除三者之间存在着一种必然的联系：当$x=2$时多项式的值为0，那么多项式就能被$x-2$整除，并且多项式有因式$x-2$。
(2)探求规律:更一般地说,如果一个关于字母$x的多项式为M$,当$x= k$时,$M$的值为0,那么$M与代数式x-k$之间有何种关系?请将它们之间的关系写在下面的横线上:$M$能被$x-k$整除，$M$有因式$x-k$。
(3)利用上面的结果求解:已知$x-2能整除x^{2}+kx-14$,求$k$的值.
$k=5$

答案： 【解析】：
(1) 根据材料，我们可以得出以下结论：
如果一个多项式在$x=a$处的值为0，那么该多项式有因式$x-a$，并且该多项式能被$x-a$整除。
具体到此题，当多项式的值为0时，说明$x-2$是该多项式的一个因式，这也意味着该多项式能被$x-2$整除。
(2) 更一般地说，如果一个关于字母$x$的多项式为$M$，当$x=k$时，$M$的值为0，
那么根据因式定理，$M$必定含有因式$x-k$，即$M$能被$x-k$整除。
(3) 已知$x-2$能整除$x^{2}+kx-14$，
根据之前的结论，当$x=2$时，多项式$x^{2}+kx-14$的值为0。
代入$x=2$，得到：
$2^{2} + 2k - 14 = 0$
$4 + 2k - 14 = 0$
$2k = 10$
$k = 5$
【答案】：
(1) 当$x=2$时，多项式的值为0；多项式有因式$x-2$；多项式能被$x-2$整除三者之间存在着一种必然的联系：当$x=2$时多项式的值为0，那么多项式就能被$x-2$整除，并且多项式有因式$x-2$。
(2) $M$能被$x-k$整除，$M$有因式$x-k$。
(3) $k=5$。