《2025年中学生世界七年级数学上册沪教版五四制》

12. 先化简,再求值：
(1)$-2n^{2}+3m^{2}-4m^{2}+2mn+n^{2}$,其中$m= 4,n= 5$；
(2)$2a^{2}b^{2}+\frac {1}{2}ab^{2}-8a^{2}b-\frac {3}{2}ab^{2}$,其中$a= 0.5,b= 2$.

答案：
(1)解：原式$=(-2n^{2}+n^{2})+(3m^{2}-4m^{2})+2mn$
$=-n^{2}-m^{2}+2mn$
当$m=4$，$n=5$时，
原式$=-5^{2}-4^{2}+2×4×5$
$=-25-16+40$
$=-1$
(2)解：原式$=2a^{2}b^{2}+(\frac{1}{2}ab^{2}-\frac{3}{2}ab^{2})-8a^{2}b$
$=2a^{2}b^{2}-ab^{2}-8a^{2}b$
当$a=0.5$，$b=2$时，
原式$=2×(0.5)^{2}×2^{2}-0.5×2^{2}-8×(0.5)^{2}×2$
$=2×0.25×4 -0.5×4 -8×0.25×2$
$=2 -2 -4$
$=-4$

13. 已知关于 x,y 的多项式$mx^{2}+2xy-x-3x^{2}+2nxy-3y$合并后不含二次项,求$n^{m}$的值.

答案： 解：将多项式合并同类项，得：
$(mx^{2}-3x^{2})+(2xy+2nxy)-x-3y=(m-3)x^{2}+(2+2n)xy-x-3y$
因为合并后不含二次项，所以二次项系数为0，即：
$\begin{cases}m - 3 = 0 \\2 + 2n = 0\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}m = 3 \\n = -1\end{cases}$
则$n^m = (-1)^3 = -1$
答案：$-1$

14. 多项式$a^{8}-2a^{7}b+3a^{6}b^{2}-4a^{5}b^{3}+... $按此规律写出它的所有项,并指出它是几次几项式？并求出该多项式的各项系数的和.

答案： 解：多项式的各项为：$a^{8} - 2a^{7}b + 3a^{6}b^{2} - 4a^{5}b^{3} + 5a^{4}b^{4} - 6a^{3}b^{5} + 7a^{2}b^{6} - 8ab^{7} + 9b^{8}$。
该多项式是八次九项式。
各项系数的和为：$1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 = 5$。

思维与拓展 4
如果代数式$(n-m)x^{n}y^{m-1}+2x-3y+1$是三项多项式,试求 m,n 的值.

答案： 解：原式共有四项：$(n-m)x^{n}y^{m-1}$、$2x$、$-3y$、$1$，要使其为三项多项式，则需有且仅有一项的系数为0或该项为常数项（但$2x$、$-3y$为一次项，$1$为常数项，故只能是$(n-m)x^{n}y^{m-1}$的系数为0或该项为常数项）。
情况一：$(n-m)x^{n}y^{m-1}$的系数为0，即$n-m=0$，则$n=m$。此时原式为$2x-3y+1$，是三项多项式，满足条件。
情况二：$(n-m)x^{n}y^{m-1}$为常数项，则$x$、$y$的指数均为0，即$\begin{cases}n=0\\m-1=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=0\end{cases}$。此时系数$n-m=0-1=-1\neq0$，原式为$-1+2x-3y+1=2x-3y$，是二项多项式，不满足条件，舍去。
综上，$m=n$。