《2025年中学生世界七年级数学上册沪教版五四制》

1. 计算 $2a^{2}\cdot 3a$ 的结果是(B)
A.$6a^{2}$；
B.$6a^{3}$；
C.$12a^{3}$；
D.$5a^{3}$.

答案： 【解析】：
本题考查整式的乘法，具体是单项式乘单项式的运算。单项式乘单项式，就是把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
在本题中，需要计算 $2a^{2} \cdot 3a$，其中系数相乘是 $2 × 3 = 6$，相同字母 $a$ 的幂相乘是 $a^{2} \cdot a = a^{2+1} = a^{3}$。
所以，$2a^{2} \cdot 3a = 6a^{3}$。
【答案】：
B

2. 下列各式成立的是(C)
A.$x^{2}+x^{3}= x^{5}$；
B.$x^{2}\cdot x^{3}= x^{6}$；
C.$x^{3}\cdot x^{4}\cdot x^{5}= x^{12}$；
D.$x^{2}\cdot x^{3}= 2x^{5}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的乘法法则，特别是同底数幂的乘法规则。
A选项：$x^{2} + x^{3}$
由于两项的指数不同，因此它们不是同类项，不能合并。
所以，$x^{2} + x^{3}$ 不能简化为 $x^{5}$，故A选项错误。
B选项：$x^{2} \cdot x^{3}$
根据同底数幂的乘法规则，当底数相同时，指数相加。
所以，$x^{2} \cdot x^{3} = x^{2+3} = x^{5}$，与选项B中的 $x^{6}$ 不符，故B选项错误。
C选项：$x^{3} \cdot x^{4} \cdot x^{5}$
同样应用同底数幂的乘法规则，$x^{3} \cdot x^{4} \cdot x^{5} = x^{3+4+5} = x^{12}$，与选项C中的 $x^{12}$ 相符，故C选项正确。
D选项：$x^{2} \cdot x^{3}$
应用同底数幂的乘法规则，$x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$，与选项D中的 $2x^{5}$ 不符，故D选项错误。
综上所述，只有C选项是正确的。
【答案】：
C

3. 计算 $m(m - 1)$ 的结果是(D)
A.$m^{2}-1$；
B.$m^{2}$；
C.$2m - 1$；
D.$m^{2}-m$.

答案： 【解析】：
本题考查的是整式的乘法，具体是单项式乘多项式的运算。
根据单项式乘多项式的运算法则，我们需要将单项式$m$分别与多项式$m-1$中的每一项相乘，再将所得的积相加。
即：
$m × (m - 1) = m × m + m × (-1) = m^{2} - m$。
【答案】：
D. $m^{2} - m$。

4. 下列计算正确的是(B)
A.$(-3x^{3})^{2}= 9x^{5}$；
B.$x\cdot (3x - 2)= 3x^{2}-2x$；
C.$x^{2}\cdot (3x^{3}-2)= 3x^{6}-2x^{2}$；
D.$x\cdot (x^{3}-x^{2}+1)= x^{4}-x^{3}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察整式的乘法运算规则，包括幂的乘方、单项式乘多项式等知识点。
A选项：$(-3x^{3})^{2}$ 应该是 $(-3)^{2} × (x^{3})^{2} = 9x^{6}$，与给出的 $9x^{5}$ 不符，故A错误。
B选项：$x\cdot (3x - 2)$ 根据分配律，应为 $3x^{2} - 2x$，与给出的 $3x^{2} - 2x$ 相符，但我们需要检查所有选项来确定唯一正确答案，故暂时保留。
C选项：$x^{2}\cdot (3x^{3}-2)$ 根据分配律，应为 $3x^{5} - 2x^{2}$，与给出的 $3x^{6} - 2x^{2}$ 不符，故C错误。
D选项：$x\cdot (x^{3}-x^{2}+1)$ 根据分配律，应为 $x^{4} - x^{3} + x$，与给出的 $x^{4} - x^{3}$ 不符（注意这里遗漏了 $x$ 项），故D错误。
经过上述分析，我们可以确定B选项是正确的。
【答案】：
B

5. 计算：$a^{2}\cdot a^{3}\cdot a^{4}= $$a^{9}$.

答案： 【解析】：
本题考查的是同底数幂的乘法法则。
同底数幂相乘时，底数不变，指数相加。
【答案】：
$a^{2} \cdot a^{3} \cdot a^{4} = a^{2+3+4} = a^{9}$
故答案为：$a^{9}$。

6. 计算：$(-a^{2}b^{3})^{3}= $$-a^{6}b^{9}$.

答案： 【解析】：
本题考查整式的乘法中的幂的乘方与积的乘方运算法则。根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{m × n}$，同时根据积的乘方运算法则，$(ab)^n = a^n × b^n$。所以，对于$(-a^{2}b^{3})^{3}$，我们可以分别对每一项进行乘方运算。
【答案】：
解：
$(-a^{2}b^{3})^{3}$
$= (-1)^{3} × (a^{2})^{3} × (b^{3})^{3}$
$= -1 × a^{6} × b^{9}$
$= -a^{6}b^{9}$
故答案为：$-a^{6}b^{9}$。

7. 计算：$3x\cdot \frac{3}{11}xy= $$\frac{9}{11}x^{2}y$.

答案： 【解析】：
本题考查整式的乘法，特别是单项式与单项式的乘法。单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
【答案】：
解：原式
$= 3x \cdot \frac{3}{11}xy$
$= \frac{9}{11}x^{2}y$
故答案为：$\frac{9}{11}x^{2}y$。

8. 计算：$(-2ab)\cdot 5ab^{3}\cdot (\frac{3}{5}a^{2}b^{2})= $$-6a^{4}b^{6}$.

答案： 【解析】：
本题考查整式的乘法运算，具体是单项式乘单项式的运算。单项式乘单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
首先，我们计算系数部分：
$(-2) × 5 × \frac{3}{5} = -6$
接着，我们计算字母部分：
对于$a$的幂，我们有$a \cdot a \cdot a^{2} = a^{4}$；
对于$b$的幂，我们有$b \cdot b^{3} \cdot b^{2} = b^{6}$。
因此，原式可以表示为：
$(-2ab)\cdot 5ab^{3}\cdot (\frac{3}{5}a^{2}b^{2}) = -6a^{4}b^{6}$
【答案】：
$-6a^{4}b^{6}$

9. 计算：$5x^{2}\cdot (3x^{2}-5y^{2})=$$15x^{4} - 25x^{2}y^{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查整式的乘法，具体是单项式乘以多项式。根据乘法分配律，我们需要将单项式$5x^{2}$分别与多项式$3x^{2}-5y^{2}$中的每一项相乘。
【答案】：
解：原式
$= 5x^{2} \cdot 3x^{2} - 5x^{2} \cdot 5y^{2}$
$= 15x^{4} - 25x^{2}y^{2}$
故答案为：$15x^{4} - 25x^{2}y^{2}$。

10. 计算：$(-2x^{2})\cdot (3xy^{2}-5xy^{3})= $$-6x^{3}y^{2} + 10x^{3}y^{3}$.

答案： 【解析】：
本题考查整式的乘法，具体是单项式乘以多项式的运算法则。根据乘法分配律，单项式应分别与多项式中的每一项相乘。
【答案】：
解：原式
$= (-2x^{2}) \cdot (3xy^{2}) + (-2x^{2}) \cdot (-5xy^{3})$
$= -6x^{3}y^{2} + 10x^{3}y^{3}$
故答案为：$-6x^{3}y^{2} + 10x^{3}y^{3}$。

11. 计算：$a^{m}\cdot (a^{2m}+3a - 6)= $$a^{3m} + 3a^{m + 1} - 6a^{m}$.

答案： 【解析】：
本题考查整式的乘法，特别是单项式与多项式的乘法。根据乘法分配律，我们可以将单项式$a^{m}$分别与多项式中的每一项相乘。
1. $a^{m} \cdot a^{2m} = a^{m+2m} = a^{3m}$ （根据幂的乘法法则，同底数的幂相乘时，指数相加）
2. $a^{m} \cdot 3a = 3a^{m+1}$ （同样根据幂的乘法法则）
3. $a^{m} \cdot (-6) = -6a^{m}$ （单项式与单项式相乘，系数与系数相乘，字母部分保持不变）
将上述三项相加，得到：
$a^{m} \cdot (a^{2m} + 3a - 6) = a^{3m} + 3a^{m + 1} - 6a^{m}$
【答案】：
$a^{3m} + 3a^{m + 1} - 6a^{m}$

12. 计算：$(-2a^{2}b)^{2}\cdot (ab^{2}-a^{2}b+a^{3})= $______.

答案： 【解析】：
本题主要考查整式的乘法运算，特别是幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘多项式的运算法则。
首先，我们计算$(-2a^{2}b)^{2}$，根据幂的乘方与积的乘方运算法则，有
$(-2a^{2}b)^{2} = (-2)^{2} × (a^{2})^{2} × b^{2} = 4a^{4}b^{2}$
然后，我们将上述结果与多项式$(ab^{2}-a^{2}b+a^{3})$相乘，根据单项式乘多项式的运算法则，有
$4a^{4}b^{2} \cdot (ab^{2}-a^{2}b+a^{3}) = 4a^{4}b^{2} \cdot ab^{2} - 4a^{4}b^{2} \cdot a^{2}b + 4a^{4}b^{2} \cdot a^{3}$
$= 4a^{5}b^{4} - 4a^{6}b^{3} + 4a^{7}b^{2}$
【答案】：
$4a^{5}b^{4} - 4a^{6}b^{3} + 4a^{7}b^{2}$

13. (1)如果把下图看成一个大长方形,那么它的长为$a + b + c$,面积可表示为$m(a + b + c)$；
(2)如果看成是由三个小长方形组成的,那么三个小长方形的面积可分别表示为$ma$、$mb$、$mc$,这时大长方形的面积又可表示为$ma + mb + mc$；
(3)根据(1)(2)中的结果可列等式：$m(a + b + c) = ma + mb + mc$；
(4)这一结论运用了什么运算律？乘法分配律；
(5)将单项式乘以多项式问题转化为单项式乘以单项式；单项式乘以多项式法则：用单项式去乘以多项式的每一项,再把所得的积相加.

答案：
(1) $a + b + c$，$m(a + b + c)$；
(2) $ma$、$mb$、$mc$，$ma + mb + mc$；
(3) $m(a + b + c) = ma + mb + mc$；
(4) 乘法分配律；
(5) 单项式乘以单项式，每一项，相加。