《2025年中学生世界七年级数学上册沪教版五四制》

5. 考察任意四个连续的奇数,对由中间两个奇数的积减去首尾两个奇数的积所得的差,你能得到怎样的结论? 试证明你的结论.
通常先考虑特殊的四个连续的奇数,如:$1,3,5,7;3,5,7,9;$
计算:$3×5-1×7= 8;5×7-3×9= 8$.
从而猜想的一般结论是:任意四个连续的奇数，中间两个奇数的积减去首尾两个奇数的积所得的差为8.
请你把这个猜想的结论证明一下.
证明：设四个连续的奇数分别为$2n-3$，$2n-1$，$2n+1$，$2n+3$（$n$为整数）。
中间两个奇数的积为$(2n - 1)(2n + 1)$，首尾两个奇数的积为$(2n - 3)(2n + 3)$。
$\begin{aligned}&(2n - 1)(2n + 1)-(2n - 3)(2n + 3)\\=&(4n^2 - 1)-(4n^2 - 9)\\=&4n^2 - 1 - 4n^2 + 9\\=&8\end{aligned}$
所以结论成立。

答案： 猜想的一般结论是：任意四个连续的奇数，中间两个奇数的积减去首尾两个奇数的积所得的差为8。
证明：设四个连续的奇数分别为$2n-3$，$2n-1$，$2n+1$，$2n+3$（$n$为整数）。
中间两个奇数的积为$(2n - 1)(2n + 1)$，首尾两个奇数的积为$(2n - 3)(2n + 3)$。
$\begin{aligned}&(2n - 1)(2n + 1)-(2n - 3)(2n + 3)\\=&(4n^2 - 1)-(4n^2 - 9)\\=&4n^2 - 1 - 4n^2 + 9\\=&8\end{aligned}$
所以结论成立。

6. 利用多项式乘法法则计算:
(1)$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=$$a^{3}+b^{3}$;$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=$$a^{3}-b^{3}$.
在多项式的乘法公式中,除了平方差公式、完全平方公式之外,如果把上面计算结果作为结论逆运用,则成为因式分解中的立方和与立方差公式.
已知$a-b= 2,ab= 1$,利用自己所学的数学知识,以及立方和与立方差公式,解决下列问题:
(2)$a^{2}+b^{2}=$6;(直接写出答案)
(3)$a^{3}-b^{3}=$14;(直接写出答案)
(4)$a^{6}+b^{6}=$解：由(2)知$a^{2}+b^{2}=6$，由$ab=1$得$(ab)^{2}=1$.$a^{4}+b^{4}=(a^{2})^{2}+(b^{2})^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2(ab)^{2}=6^{2}-2×1=34$.$a^{6}+b^{6}=(a^{2})^{3}+(b^{2})^{3}=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4})=6×(34 - 1)=6×33=198$.(写出解题过程)

答案：
(1) $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$; $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$.
(2) $6$
(3) $14$
(4) 解：由
(2)知$a^{2}+b^{2}=6$，由$ab=1$得$(ab)^{2}=1$.
$a^{4}+b^{4}=(a^{2})^{2}+(b^{2})^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2(ab)^{2}=6^{2}-2×1=34$.
$a^{6}+b^{6}=(a^{2})^{3}+(b^{2})^{3}=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4})=6×(34 - 1)=6×33=198$.