《2025年中学生世界七年级数学上册沪教版五四制》

1. $2024^{2}-2023×2025$的结果是(A)
A.1；
B.-1；
C.2；
D.-2.

答案： 【解析】：
本题主要考查平方差公式在简化运算中的应用。
首先，我们可以将$2023$和$2025$表示为与$2024$的关系，即$2023 = 2024 - 1$，$2025 = 2024 + 1$。
然后，我们将原式$2024^{2} - 2023 × 2025$进行变形，得到：
$2024^{2} - (2024 - 1) × (2024 + 1)$
接着，我们可以利用平方差公式$(a-b)(a+b) = a^{2} - b^{2}$，将上式中的$(2024 - 1) × (2024 + 1)$进行化简，得到：
$2024^{2} - (2024^{2} - 1)$
最后，我们进行简单的计算，即可得出结果：
$2024^{2} - 2024^{2} + 1 = 1$
【答案】：A

2. 若$M(3x - y^{2}) = 9x^{2} - y^{4}$,则代数式$M$的值应是(C)
A.$-(3x + y^{2})$；
B.$-y^{2} + 3x$；
C.$3x + y^{2}$；
D.$3x - y^{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察平方差公式的运用。
给定$M(3x - y^{2}) = 9x^{2} - y^{4}$，我们需要找到一个代数式$M$，使得该等式成立。
首先，我们观察右边的表达式$9x^{2} - y^{4}$，这个表达式可以看作是$(3x)^2 - (y^2)^2$，即平方差的形式。
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们可以将$9x^{2} - y^{4}$因式分解为$(3x + y^{2})(3x - y^{2})$。
现在，我们回到原等式$M(3x - y^{2}) = 9x^{2} - y^{4}$，将右边的表达式替换为因式分解后的形式，得到$M(3x - y^{2}) = (3x + y^{2})(3x - y^{2})$。
由于$3x - y^{2}$在等式两边都出现，可以约去，从而得到$M = 3x + y^{2}$。
【答案】：
C. $3x + y^{2}$

3. 下列各式能用完全平方公式计算的是(B)
A.$(3a - 2b)(-2b - 3a)$；
B.$(3a + 2b)(-3a - 2b)$；
C.$(3a + 2b)(-2a - 3b)$；
D.$(3a - 2b)(3a + 2b)$.

答案： 【解析】：
本题主要考察完全平方公式的识别与应用。
完全平方公式为：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 或 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
为了应用这些公式，需要找到两个因子，它们是相同项的和或差，且这两项都平方出现。
接下来，我们逐一检查每个选项：
A. $(3a - 2b)(-2b - 3a)$
= $- (3a - 2b)(3a + 2b)$
= $- (9a^2 - 4b^2)$
这不是完全平方的形式。
B. $(3a + 2b)(-3a - 2b)$
= $- (3a + 2b)(3a + 2b)$
= $- (3a + 2b)^2$
这是完全平方的形式。
C. $(3a + 2b)(-2a - 3b)$
这个表达式不能转化为完全平方的形式。
D. $(3a - 2b)(3a + 2b)$
= $9a^2 - 4b^2$
这不是完全平方的形式，而是平方差公式。
因此，只有选项B符合完全平方公式的形式。
【答案】：
B

4. 下列各式计算结果是$2mn - m^{2} - n^{2}$的是(B)
A.$(m - n)^{2}$；
B.$-(m - n)^{2}$；
C.$-(m + n)^{2}$；
D.$(m + n)^{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察完全平方公式的运用以及代数式的变形。
完全平方公式为：$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，
同时，我们也需要知道，$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$。
接下来，我们将每个选项展开，看哪个选项的结果与$2mn - m^{2} - n^{2}$相符。
A. $(m - n)^{2}$
使用完全平方公式，我们有：
$(m - n)^{2} = m^{2} - 2mn + n^{2}$
此式与$2mn - m^{2} - n^{2}$不相等，故A选项错误。
B. $-(m - n)^{2}$
使用完全平方公式并取负，我们有：
$-(m - n)^{2} = -(m^{2} - 2mn + n^{2}) = -m^{2} + 2mn - n^{2} = 2mn - m^{2} - n^{2}$
（注意，这里我们调整了项的顺序，使式子与题目所给形式一致）
此式与$2mn - m^{2} - n^{2}$相等，故B选项正确。
C. $-(m + n)^{2}$
使用完全平方公式并取负，我们有：
$-(m + n)^{2} = -(m^{2} + 2mn + n^{2}) = -m^{2} - 2mn - n^{2}$
此式与$2mn - m^{2} - n^{2}$不相等，故C选项错误。
D. $(m + n)^{2}$
使用完全平方公式，我们有：
$(m + n)^{2} = m^{2} + 2mn + n^{2}$
此式与$2mn - m^{2} - n^{2}$不相等，故D选项错误。
综上所述，只有B选项的结果与$2mn - m^{2} - n^{2}$相符。
【答案】：
B

5. 计算：$(a - b)(a + b) = $$a^{2} - b^{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查的是平方差公式的应用。平方差公式是$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$，这是一个基础的代数公式，用于简化两个二项式的乘积。
【答案】：
$(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$

6. $(a + 1)$($1 - a$)$= 1 - a^{2}$.

答案： 【解析】：
本题考察的是平方差公式的应用。平方差公式为$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$。题目中给出了$(a + 1)$与某个多项式的乘积等于$1 - a^{2}$，即一个平方差的形式。我们可以将$1 - a^{2}$视为$1^2 - a^2$，从而应用平方差公式。根据平方差公式，我们可以推断出与$(a + 1)$相乘的多项式应该是$(1 - a)$，因为$(a + 1)(1 - a) = 1 - a^{2}$。
【答案】：
$(a + 1)(1 - a) = 1 - a^{2}$，
所以空格中应填$1 - a$。

7. 计算：$(ab - 1)(ab + 1) = $$a^{2}b^{2} - 1$.

答案： 【解析】：
本题考查平方差公式的应用。平方差公式为$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$。在本题中，$a$对应$ab$，$b$对应$1$，所以可以直接应用平方差公式进行计算。
【答案】：
解：原式$= (ab)^2 - 1^2$
$= a^{2}b^{2} - 1$
故答案为：$a^{2}b^{2} - 1$。

8. 计算：$(x^{2} - 2y)(-x^{2} - 2y) = $$4y^{2} - x^{4}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察平方差公式的应用。平方差公式为$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$。
在本题中，可以将$x^{2} - 2y$看作$a-b$，$-x^{2} - 2y$看作$-(a+b)$，那么原式可以转化为平方差公式的形式进行计算。
即：
$(x^{2} - 2y)(-x^{2} - 2y) = (-2y + x^{2})(-2y - x^{2})$
$= (-2y)^{2} - (x^{2})^{2}$
$= 4y^{2} - x^{4}$
【答案】：
$4y^{2} - x^{4}$

9. 计算：$(3xy + 5)(5 - 3xy) = $$25 - 9x^{2}y^{2}$.

答案： 【解析】：
本题考查平方差公式的运用。平方差公式为$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$。
在本题中，$a = 5$，$b = 3xy$，所以可以将原式看作平方差公式的形式进行计算。
【答案】：
解：原式
= $(5 + 3xy)(5 - 3xy)$
= $5^2 - (3xy)^2$
= $25 - 9x^{2}y^{2}$
故答案为：$25 - 9x^{2}y^{2}$。

10. 计算：$(x + 3)(x - 3)(x^{2} + 9) = $$x^{4}-81$.

答案： 解：$(x + 3)(x - 3)(x^{2} + 9)$
$=(x^{2}-9)(x^{2}+9)$
$=x^{4}-81$
故答案为：$x^{4}-81$

11. 计算：$10\frac{1}{4}×9\frac{3}{4} = $$99\frac{15}{16}$.

答案： 【解析】：
本题考查平方差公式$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$的运用。
可以将$10\frac{1}{4}$和$9\frac{3}{4}$分别写成$(10+\frac{1}{4})$和$(10 - \frac{1}{4})$的形式，然后利用平方差公式进行计算。
【答案】：
解：原式$=(10+\frac{1}{4})×(10 - \frac{1}{4})$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 10$，$b=\frac{1}{4}$，则：
原式$=10^{2}-(\frac{1}{4})^{2}$
$=100-\frac{1}{16}$
$=\frac{1600}{16}-\frac{1}{16}$
$=\frac{1599}{16}$
$=99\frac{15}{16}$
故答案为$99\frac{15}{16}$。

12. 计算：$(x + y - z)(x + y + z) = $______.

答案： 【解析】：
本题主要考察平方差公式的应用，即$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
在本题中，我们可以将$x + y$看作$a$，$z$看作$b$，那么原式就可以转化为平方差公式的形式。
【答案】：
解：原式
$= (x + y + z)(x + y - z)$
$= [(x + y) + z][(x + y) - z]$
$= (x + y)^{2} - z^{2}$ （根据平方差公式）
$= x^{2} + 2xy + y^{2} - z^{2}$ （根据完全平方公式展开）
故答案为：$x^{2} + 2xy + y^{2} - z^{2}$。

13. 计算：$(a - b - c)^{2} = $$a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab - 2ac + 2bc$.

答案： 解：$(a - b - c)^{2}$
$=[a - (b + c)]^{2}$
$=a^{2} - 2a(b + c) + (b + c)^{2}$
$=a^{2} - 2ab - 2ac + b^{2} + 2bc + c^{2}$
$=a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab - 2ac + 2bc$
故答案为：$a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2ab - 2ac + 2bc$

14. 已知$\vert 3x - y + 1\vert + (3x + 1)^{2} = 0$,则$x^{2} + y^{2} = $______.

答案： 解：因为$\vert 3x - y + 1\vert \geq 0$，$(3x + 1)^{2} \geq 0$，且$\vert 3x - y + 1\vert + (3x + 1)^{2} = 0$，所以$\begin{cases}3x + 1 = 0 \\ 3x - y + 1 = 0\end{cases}$。
由$3x + 1 = 0$，解得$x = -\dfrac{1}{3}$。
将$x = -\dfrac{1}{3}$代入$3x - y + 1 = 0$，得$3×(-\dfrac{1}{3}) - y + 1 = 0$，即$-1 - y + 1 = 0$，解得$y = 0$。
所以$x^{2} + y^{2} = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2} + 0^{2} = \dfrac{1}{9}$。
$\dfrac{1}{9}$

15. 已知$x^{2} + ax + 81$是一个多项式的平方,则$a = $______.

答案： 【解析】：
本题主要考察完全平方公式的应用。完全平方公式的一般形式为$(x+b)^{2}=x^{2}+2bx+b^{2}$。
对于给定的多项式$x^{2} + ax + 81$，可以观察到它已经是一个二次多项式，并且常数项为81，即$b^{2}=81$。
解这个方程，得到$b=\pm9$。
接下来，需要将这个多项式与完全平方公式进行匹配。
如果$b=9$，则多项式应为$x^{2} + 2×9× x + 81 = x^{2} + 18x + 81$，此时$a=18$。
如果$b=-9$，则多项式应为$x^{2} + 2×(-9)× x + 81 = x^{2} - 18x + 81$，此时$a=-18$。
因此，$a$可以是$18$或$-18$。
【答案】：
$\pm 18$

16. 计算：
(1)$(m - n)(m + n) - (m + 2n)(m - 2n)$；(2)$(x - 3)(x + 4) - 2(x + 5)(x - 5)$；
(3)$(-a^{2} + 3b^{2})^{2} + 9a^{2}b^{2}$；(4)$(a - 2b + 3c)(a + 2b - 3c)$.

答案：
(1)解：原式$=m^{2}-n^{2}-(m^{2}-4n^{2})$
$=m^{2}-n^{2}-m^{2}+4n^{2}$
$=3n^{2}$
(2)解：原式$=x^{2}+4x-3x-12-2(x^{2}-25)$
$=x^{2}+x-12-2x^{2}+50$
$=-x^{2}+x+38$
(3)解：原式$=(-a^{2})^{2}+2×(-a^{2})×3b^{2}+(3b^{2})^{2}+9a^{2}b^{2}$
$=a^{4}-6a^{2}b^{2}+9b^{4}+9a^{2}b^{2}$
$=a^{4}+3a^{2}b^{2}+9b^{4}$
(4)解：原式$=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]$
$=a^{2}-(2b-3c)^{2}$
$=a^{2}-(4b^{2}-12bc+9c^{2})$
$=a^{2}-4b^{2}+12bc-9c^{2}$