《2025年中学生世界七年级数学上册沪教版五四制》

7. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题. 初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观验证.
例如,将一个边长为$a的正方形的边长增加b$,形成两个矩形和两个正方形,如图①.这个图形的面积可以表示成:$(a+b)^{2}或a^{2}+2ab+b^{2}$.
$\therefore (a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$,这就验证了两数和的完全平方公式.
(1)尝试解决:请你类比上述方法,利用图形的几何意义验证平方差公式.(要求自己构图并写出验证过程)
构造边长为$a$的大正方形，在其中剪去一个边长为$b$的小正方形（$a ＞ b$），剩余部分可拼成一个长为$(a + b)$、宽为$(a - b)$的长方形。大正方形面积为$a^2$，小正方形面积为$b^2$，剩余面积为$a^2 - b^2$；长方形面积为$(a + b)(a - b)$。因此$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。
(2)问题提出:如何利用图形的几何意义验证:$1^{3}+2^{3}= 3^{2}$?
如图②,$A表示1个1×1$的正方形,面积为:$1×1×1= 1^{3}$.
$B表示1个2×2$的正方形,$C与D恰好可以拼成1个2×2$的正方形,因此$B,C,D就可以表示2个2×2$的正方形,面积为:$2×2×2= 2^{3}$.
而$A,B,C,D恰好可以拼成一个面积为(1+2)×(1+2)$的大正方形.
由此可得:$1^{3}+2^{3}= (1+2)^{2}= 3^{2}$.
尝试解决:请你类比上述验证过程,利用图形的几何意义可以得出:$1^{3}+2^{3}+3^{3}= $____.(要求写出结论并自己构造图形)
$6^2$
(3)问题拓展:请用上面的表示几何图形面积的方法探究:$1^{3}+2^{3}+3^{3}+... +n^{3}= $____.(直接写出结论)
$(1 + 2 + 3+\cdots +n)^2$

答案：
(1)构造边长为$a$的大正方形，在其中剪去一个边长为$b$的小正方形（$a ＞ b$），剩余部分可拼成一个长为$(a + b)$、宽为$(a - b)$的长方形。大正方形面积为$a^2$，小正方形面积为$b^2$，剩余面积为$a^2 - b^2$；长方形面积为$(a + b)(a - b)$。因此$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。
(2)$6^2$
(3)$(1 + 2 + 3+\cdots +n)^2$