《2025年中学生世界七年级数学上册沪教版五四制》

15. 计算：(1)$(x + y - 2)(x - y + 2)$；
(2)$(x + 2y - 3z)^{2}$；
(3)$(x - 2)^{2}-2(x - 2)(x + 1)+(x + 1)^{2}$.

答案：
(1)解：原式$=[x+(y-2)][x-(y-2)]$
$=x^{2}-(y-2)^{2}$
$=x^{2}-(y^{2}-4y+4)$
$=x^{2}-y^{2}+4y-4$
(2)解：原式$=[(x+2y)-3z]^{2}$
$=(x+2y)^{2}-2(x+2y)(3z)+(3z)^{2}$
$=x^{2}+4xy+4y^{2}-6xz-12yz+9z^{2}$
(3)解：原式$=[(x-2)-(x+1)]^{2}$
$=(x-2-x-1)^{2}$
$=(-3)^{2}$
$=9$

16. 化简并求值：$(2x + 1)^{2}-(x - 1)^{2}$,其中$x = -2$.

答案： 解：$(2x + 1)^{2}-(x - 1)^{2}$
$=(4x^{2}+4x+1)-(x^{2}-2x+1)$
$=4x^{2}+4x+1 - x^{2}+2x - 1$
$=3x^{2}+6x$
当$x=-2$时，
原式$=3×(-2)^{2}+6×(-2)$
$=3×4 - 12$
$=12 - 12$
$=0$

17. 已知$a(a - 1)-(a^{2}-b)= 5$,求$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab$的值.

答案： 解：
由已知 $a(a - 1)-(a^{2}-b)= 5$，
展开得 $a^2 - a - a^2 + b = 5$，
化简得 $-a + b = 5$，即 $b - a = 5$。
待求式 $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab$ 可变形为 $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{2} = \frac{(b - a)^2}{2}$。
将 $b - a = 5$ 代入，得 $\frac{5^2}{2} = \frac{25}{2}$。
答案：$\frac{25}{2}$

思维与拓展 18
已知$a-\frac{1}{a}= 3$,求：
(1)$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$的值；(2)$a^{4}+\frac{1}{a^{4}}$的值.

答案：
(1)解：因为$a - \frac{1}{a} = 3$，两边平方得$(a - \frac{1}{a})^2 = 3^2$，即$a^2 - 2 × a × \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 9$，化简得$a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 9$，所以$a^2 + \frac{1}{a^2} = 9 + 2 = 11$。
(2)解：由
(1)知$a^2 + \frac{1}{a^2} = 11$，两边平方得$(a^2 + \frac{1}{a^2})^2 = 11^2$，即$a^4 + 2 × a^2 × \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^4} = 121$，化简得$a^4 + 2 + \frac{1}{a^4} = 121$，所以$a^4 + \frac{1}{a^4} = 121 - 2 = 119$。