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1. 下列各式中,能用平方差公式计算的是(
A.$(a - 2b)(b + 2a)$；
B.$(a - 2b)(-a + 2b)$；
C.$(a - 2b)(-a - 2b)$；
D.$(-2b - a)(a + 2b)$.
C
)A.$(a - 2b)(b + 2a)$；
B.$(a - 2b)(-a + 2b)$；
C.$(a - 2b)(-a - 2b)$；
D.$(-2b - a)(a + 2b)$.
答案：
解：平方差公式为$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$，其特点是两个因式中一项完全相同，另一项互为相反数。
A选项：$(a - 2b)(b + 2a)$，两项均不满足完全相同和互为相反数，不能用平方差公式。
B选项：$(a - 2b)(-a + 2b)=-(a - 2b)(a - 2b)=-(a - 2b)^2$，是完全平方形式，不能用平方差公式。
C选项：$(a - 2b)(-a - 2b)=(-2b + a)(-2b - a)=(-2b)^2 - a^2$，符合平方差公式特点，能用平方差公式。
D选项：$(-2b - a)(a + 2b)=-(a + 2b)(a + 2b)=-(a + 2b)^2$，是完全平方形式，不能用平方差公式。
答案：C
A选项：$(a - 2b)(b + 2a)$，两项均不满足完全相同和互为相反数，不能用平方差公式。
B选项：$(a - 2b)(-a + 2b)=-(a - 2b)(a - 2b)=-(a - 2b)^2$，是完全平方形式，不能用平方差公式。
C选项：$(a - 2b)(-a - 2b)=(-2b + a)(-2b - a)=(-2b)^2 - a^2$，符合平方差公式特点，能用平方差公式。
D选项：$(-2b - a)(a + 2b)=-(a + 2b)(a + 2b)=-(a + 2b)^2$，是完全平方形式，不能用平方差公式。
答案：C
2. 已知$x^{2}-kxy + 4y^{2}$是一个完全平方式,则$k$的值是(
A.$-4$；
B.4；
C.$\pm 4$；
D.$\pm 1$.
C
)A.$-4$；
B.4；
C.$\pm 4$；
D.$\pm 1$.
答案：
【解析】：
本题主要考察完全平方公式的应用。
完全平方公式的一般形式为$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 或 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$。
对于给定的式子$x^{2}-kxy + 4y^{2}$，可以观察到它类似于完全平方公式的形式，其中$a^{2}$对应$x^{2}$，$b^{2}$对应$4y^{2}$。
根据完全平方公式的形式，中间的项应该是$a$和$b$的乘积的两倍或负两倍，即$\pm 2ab$。
将$a$和$b$分别替换为$x$和$2y$，得到中间项应为$\pm 2 × x × 2y = \pm 4xy$。
由于题目中给出的中间项是$-kxy$，通过比较系数，可以得到$k = \pm 4$。
【答案】：
C. $\pm 4$。
本题主要考察完全平方公式的应用。
完全平方公式的一般形式为$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 或 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$。
对于给定的式子$x^{2}-kxy + 4y^{2}$，可以观察到它类似于完全平方公式的形式，其中$a^{2}$对应$x^{2}$，$b^{2}$对应$4y^{2}$。
根据完全平方公式的形式，中间的项应该是$a$和$b$的乘积的两倍或负两倍，即$\pm 2ab$。
将$a$和$b$分别替换为$x$和$2y$，得到中间项应为$\pm 2 × x × 2y = \pm 4xy$。
由于题目中给出的中间项是$-kxy$，通过比较系数，可以得到$k = \pm 4$。
【答案】：
C. $\pm 4$。
3. 若$a^{2}+b^{2}= 2$,$a + b = 1$,则$ab$的值为(
A.$-1$；
B.$-\frac{1}{2}$；
C.$-\frac{3}{2}$；
D.3.
B
)A.$-1$；
B.$-\frac{1}{2}$；
C.$-\frac{3}{2}$；
D.3.
答案：
【解析】：
本题主要考察完全平方公式的运用。
首先，由完全平方公式，我们有：
$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，
根据题目给定的条件，我们有：
$a^{2} + b^{2} = 2$，
$a + b = 1$，
将$a + b = 1$两边平方，得到：
$(a+b)^{2} = 1^{2}$，
即：
$a^{2} + 2ab + b^{2} = 1$，
将这个式子与$a^{2} + b^{2} = 2$相减，得到：
$2ab = 1 - 2 = -1$，
从而：
$ab = -\frac{1}{2}$，
【答案】：
B. $-\frac{1}{2}$。
本题主要考察完全平方公式的运用。
首先，由完全平方公式，我们有：
$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，
根据题目给定的条件，我们有：
$a^{2} + b^{2} = 2$，
$a + b = 1$，
将$a + b = 1$两边平方，得到：
$(a+b)^{2} = 1^{2}$，
即：
$a^{2} + 2ab + b^{2} = 1$，
将这个式子与$a^{2} + b^{2} = 2$相减，得到：
$2ab = 1 - 2 = -1$，
从而：
$ab = -\frac{1}{2}$，
【答案】：
B. $-\frac{1}{2}$。
4. 下列运算中,正确的是(
A.$(2x + y)^{2}= 4x^{2}+y^{2}$；
B.$(a - 3b)^{2}= a^{2}-9b^{2}$；
C.$(-x - y)^{2}= x^{2}+2xy + y^{2}$；
D.$(x-\frac{1}{2})^{2}= x^{2}-2x+\frac{1}{4}$.
C
)A.$(2x + y)^{2}= 4x^{2}+y^{2}$；
B.$(a - 3b)^{2}= a^{2}-9b^{2}$；
C.$(-x - y)^{2}= x^{2}+2xy + y^{2}$；
D.$(x-\frac{1}{2})^{2}= x^{2}-2x+\frac{1}{4}$.
答案：
【解析】：
本题主要考察完全平方公式的运用。完全平方公式为$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$和$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$。
A. 对于$(2x + y)^{2}$，根据完全平方公式，其应该等于$(2x)^{2} + 2(2x)(y) + y^{2} = 4x^{2} + 4xy + y^{2}$，与选项A给出的$4x^{2} + y^{2}$不符，故A错误。
B. 对于$(a - 3b)^{2}$，根据完全平方公式，其应该等于$a^{2} - 2(a)(3b) + (3b)^{2} = a^{2} - 6ab + 9b^{2}$，与选项B给出的$a^{2} - 9b^{2}$不符，故B错误。
C. 对于$(-x - y)^{2}$，根据完全平方公式，其等于$(-x)^{2} + 2(-x)(-y) + (-y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$，与选项C给出的$x^{2} + 2xy + y^{2}$相符，故C正确。
D. 对于$(x-\frac{1}{2})^{2}$，根据完全平方公式，其等于$x^{2} - 2(x)(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^{2} = x^{2} - x + \frac{1}{4}$，与选项D给出的$x^{2} - 2x + \frac{1}{4}$不符，故D错误。
综上，只有选项C是正确的。
【答案】：
C
本题主要考察完全平方公式的运用。完全平方公式为$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$和$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$。
A. 对于$(2x + y)^{2}$，根据完全平方公式，其应该等于$(2x)^{2} + 2(2x)(y) + y^{2} = 4x^{2} + 4xy + y^{2}$，与选项A给出的$4x^{2} + y^{2}$不符，故A错误。
B. 对于$(a - 3b)^{2}$，根据完全平方公式，其应该等于$a^{2} - 2(a)(3b) + (3b)^{2} = a^{2} - 6ab + 9b^{2}$，与选项B给出的$a^{2} - 9b^{2}$不符，故B错误。
C. 对于$(-x - y)^{2}$，根据完全平方公式，其等于$(-x)^{2} + 2(-x)(-y) + (-y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$，与选项C给出的$x^{2} + 2xy + y^{2}$相符，故C正确。
D. 对于$(x-\frac{1}{2})^{2}$，根据完全平方公式，其等于$x^{2} - 2(x)(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^{2} = x^{2} - x + \frac{1}{4}$，与选项D给出的$x^{2} - 2x + \frac{1}{4}$不符，故D错误。
综上，只有选项C是正确的。
【答案】：
C
5. 计算：$(\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y)(\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y)=$
$\frac{4}{9}x^{2} - \frac{9}{16}y^{2}$
.
答案：
【解析】：
本题考查了平方差公式的运用，即$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
在本题中，$a = \frac{2}{3}x$，$b = \frac{3}{4}y$。
根据平方差公式，原式可以表示为：
$(\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y)(\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y) = (\frac{2}{3}x)^{2} - (\frac{3}{4}y)^{2}$
进一步展开，得到：
$= \frac{4}{9}x^{2} - \frac{9}{16}y^{2}$
【答案】：
$\frac{4}{9}x^{2} - \frac{9}{16}y^{2}$
本题考查了平方差公式的运用，即$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
在本题中，$a = \frac{2}{3}x$，$b = \frac{3}{4}y$。
根据平方差公式，原式可以表示为：
$(\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y)(\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}y) = (\frac{2}{3}x)^{2} - (\frac{3}{4}y)^{2}$
进一步展开，得到：
$= \frac{4}{9}x^{2} - \frac{9}{16}y^{2}$
【答案】：
$\frac{4}{9}x^{2} - \frac{9}{16}y^{2}$
6. 计算：$(2 - a)(2 + a)(4 + a^{2})= $
$16 - a^{4}$
.
答案：
【解析】：
本题主要考查平方差公式的运用。首先，我们可以运用平方差公式将$(2 - a)(2 + a)$化简，得到$4 - a^{2}$。然后，我们再将这个结果与$4 + a^{2}$相乘，即$(4 - a^{2})(4 + a^{2})$，再次利用平方差公式，得到$16 - a^{4}$。
【答案】：
解：原式
= $(2 - a)(2 + a)(4 + a^{2})$
= $(4 - a^{2})(4 + a^{2})$
= $16 - a^{4}$
故答案为：$16 - a^{4}$。
本题主要考查平方差公式的运用。首先，我们可以运用平方差公式将$(2 - a)(2 + a)$化简，得到$4 - a^{2}$。然后，我们再将这个结果与$4 + a^{2}$相乘，即$(4 - a^{2})(4 + a^{2})$，再次利用平方差公式，得到$16 - a^{4}$。
【答案】：
解：原式
= $(2 - a)(2 + a)(4 + a^{2})$
= $(4 - a^{2})(4 + a^{2})$
= $16 - a^{4}$
故答案为：$16 - a^{4}$。
7. 计算：$(2a - b)(-2a - b)= $
$b^2 - 4a^2$
.
答案：
【解析】：
题目要求计算$(2a - b)(-2a - b)$，这是一个平方差公式的应用。我们可以将其视为$[(-b) + 2a][(-b) - 2a]$，这样就可以直接应用平方差公式$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$进行计算。
【答案】：
解：原式可以看作$[(-b) + 2a][(-b) - 2a]$，
根据平方差公式$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$，我们有
$(2a - b)(-2a - b) = (-b)^2 - (2a)^2$
$= b^2 - 4a^2$
故答案为：$b^2 - 4a^2$。
题目要求计算$(2a - b)(-2a - b)$，这是一个平方差公式的应用。我们可以将其视为$[(-b) + 2a][(-b) - 2a]$，这样就可以直接应用平方差公式$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$进行计算。
【答案】：
解：原式可以看作$[(-b) + 2a][(-b) - 2a]$，
根据平方差公式$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$，我们有
$(2a - b)(-2a - b) = (-b)^2 - (2a)^2$
$= b^2 - 4a^2$
故答案为：$b^2 - 4a^2$。
8. 计算：$(-a + 1)(-a - 1)= $
$a^2 - 1$
.
答案：
【解析】：
题目考查了平方差公式的应用。
根据平方差公式，对于任意实数$x$和$y$，有：
$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$，
在本题中，可以将$-a$看作$x$，$1$看作$y$，代入上述公式得到：
$(-a + 1)(-a - 1) = (-a)^2 - 1^2= a^2 - 1$。
【答案】：
$a^2 - 1$。
题目考查了平方差公式的应用。
根据平方差公式，对于任意实数$x$和$y$，有：
$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$，
在本题中，可以将$-a$看作$x$，$1$看作$y$，代入上述公式得到：
$(-a + 1)(-a - 1) = (-a)^2 - 1^2= a^2 - 1$。
【答案】：
$a^2 - 1$。
9. 计算：$9\frac{2}{3}× 10\frac{1}{3}= $
$99\frac{8}{9}$
.
答案：
【解析】：
本题考查了利用平方差公式进行简便运算。
首先，将带分数转化为假分数：
$9\frac{2}{3} = \frac{29}{3}$
$10\frac{1}{3} = \frac{31}{3}$
但直接相乘较为复杂，因此我们可以考虑将$9\frac{2}{3}$表示为$(10 - \frac{1}{3})$，将$10\frac{1}{3}$表示为$(10 + \frac{1}{3})$，这样就可以利用平方差公式进行简化计算。
平方差公式为：
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
代入$a = 10, b = \frac{1}{3}$，我们得到：
$9\frac{2}{3} × 10\frac{1}{3}$
$= (10 - \frac{1}{3})(10 + \frac{1}{3})$
$= 10^2 - (\frac{1}{3})^2$
$= 100 - \frac{1}{9}$
$= 99\frac{8}{9}$
【答案】：
$99\frac{8}{9}$
本题考查了利用平方差公式进行简便运算。
首先，将带分数转化为假分数：
$9\frac{2}{3} = \frac{29}{3}$
$10\frac{1}{3} = \frac{31}{3}$
但直接相乘较为复杂，因此我们可以考虑将$9\frac{2}{3}$表示为$(10 - \frac{1}{3})$，将$10\frac{1}{3}$表示为$(10 + \frac{1}{3})$，这样就可以利用平方差公式进行简化计算。
平方差公式为：
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
代入$a = 10, b = \frac{1}{3}$，我们得到：
$9\frac{2}{3} × 10\frac{1}{3}$
$= (10 - \frac{1}{3})(10 + \frac{1}{3})$
$= 10^2 - (\frac{1}{3})^2$
$= 100 - \frac{1}{9}$
$= 99\frac{8}{9}$
【答案】：
$99\frac{8}{9}$
10. 计算：$(-a - 2b)^{2}= $
$a^{2} + 4ab + 4b^{2}$
.
答案：
【解析】：
本题考查了完全平方公式的运用。完全平方公式为$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，在本题中，可以将$(-a - 2b)$看作是$(-a)$与$(-2b)$的和，然后利用完全平方公式进行展开。
【答案】：
解：原式
$= (-a - 2b)^{2}$
$= (-a)^{2} + 2(-a)(-2b) + (-2b)^{2}$
$= a^{2} + 4ab + 4b^{2}$
故答案为：$a^{2} + 4ab + 4b^{2}$。
本题考查了完全平方公式的运用。完全平方公式为$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，在本题中，可以将$(-a - 2b)$看作是$(-a)$与$(-2b)$的和，然后利用完全平方公式进行展开。
【答案】：
解：原式
$= (-a - 2b)^{2}$
$= (-a)^{2} + 2(-a)(-2b) + (-2b)^{2}$
$= a^{2} + 4ab + 4b^{2}$
故答案为：$a^{2} + 4ab + 4b^{2}$。
11. 计算：$(x - 3y + 4)(x - 3y - 4)= $
$x^{2} - 6xy + 9y^{2} - 16$
.
答案：
【解析】：
本题考查了平方差公式的运用，通过观察，题目中的两个因子形式符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$的形式，其中$a = x - 3y$，$b = 4$。
【答案】：
解：原式可以看作是平方差公式的应用，即：
$(x - 3y + 4)(x - 3y - 4) = (x - 3y)^{2} - 4^{2}$
展开得：
$= x^{2} - 6xy + 9y^{2} - 16$
故答案为：$x^{2} - 6xy + 9y^{2} - 16$。
本题考查了平方差公式的运用，通过观察，题目中的两个因子形式符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$的形式，其中$a = x - 3y$，$b = 4$。
【答案】：
解：原式可以看作是平方差公式的应用，即：
$(x - 3y + 4)(x - 3y - 4) = (x - 3y)^{2} - 4^{2}$
展开得：
$= x^{2} - 6xy + 9y^{2} - 16$
故答案为：$x^{2} - 6xy + 9y^{2} - 16$。
12. 计算：$(x + y)^{2}(x - y)^{2}= $
$x^{4} - 2x^{2}y^{2} + y^{4}$
.
答案：
【解析】：
本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用。
首先，我们可以将原式看作是两个平方项的乘积，即$(x + y)^{2}(x - y)^{2} = \left[(x + y)(x - y)\right]^{2}$。
然后，利用平方差公式，$(x + y)(x - y) = x^{2} - y^{2}$，代入上式，得到$(x + y)^{2}(x - y)^{2} = (x^{2} - y^{2})^{2}$。
最后，利用完全平方公式，$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$，将$(x^{2} - y^{2})^{2}$展开，得到$x^{4} - 2x^{2}y^{2} + y^{4}$。
【答案】：
$x^{4} - 2x^{2}y^{2} + y^{4}$
本题主要考查平方差公式和完全平方公式的运用。
首先，我们可以将原式看作是两个平方项的乘积，即$(x + y)^{2}(x - y)^{2} = \left[(x + y)(x - y)\right]^{2}$。
然后，利用平方差公式，$(x + y)(x - y) = x^{2} - y^{2}$，代入上式，得到$(x + y)^{2}(x - y)^{2} = (x^{2} - y^{2})^{2}$。
最后，利用完全平方公式，$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$，将$(x^{2} - y^{2})^{2}$展开，得到$x^{4} - 2x^{2}y^{2} + y^{4}$。
【答案】：
$x^{4} - 2x^{2}y^{2} + y^{4}$
13. 计算：$(x^{2}-y)^{2}-(x^{2}-y)(x^{2}+y)= $
$- 2x^{2}y + 2y^{2}$
.
答案：
【解析】：
本题主要考查了整式的混合运算，特别是平方差公式和完全平方公式的应用。
首先，我们观察原式$(x^{2}-y)^{2}-(x^{2}-y)(x^{2}+y)$，发现其中包含了平方和乘积的运算，可以考虑使用平方差公式和完全平方公式进行化简。
1. 应用完全平方公式展开$(x^{2}-y)^{2}$，得到$x^{4} - 2x^{2}y + y^{2}$。
2. 应用平方差公式展开$(x^{2}-y)(x^{2}+y)$，得到$x^{4} - y^{2}$。
3. 将两个展开后的式子相减，即$(x^{4} - 2x^{2}y + y^{2}) - (x^{4} - y^{2})$。
4. 合并同类项，得到$- 2x^{2}y + 2y^{2}$。
【答案】：
$- 2x^{2}y + 2y^{2}$
本题主要考查了整式的混合运算，特别是平方差公式和完全平方公式的应用。
首先，我们观察原式$(x^{2}-y)^{2}-(x^{2}-y)(x^{2}+y)$，发现其中包含了平方和乘积的运算，可以考虑使用平方差公式和完全平方公式进行化简。
1. 应用完全平方公式展开$(x^{2}-y)^{2}$，得到$x^{4} - 2x^{2}y + y^{2}$。
2. 应用平方差公式展开$(x^{2}-y)(x^{2}+y)$，得到$x^{4} - y^{2}$。
3. 将两个展开后的式子相减，即$(x^{4} - 2x^{2}y + y^{2}) - (x^{4} - y^{2})$。
4. 合并同类项，得到$- 2x^{2}y + 2y^{2}$。
【答案】：
$- 2x^{2}y + 2y^{2}$
14. 利用乘法公式计算：
(1)$197^{2}$；(2)$2023^{2}-2022× 2024$.
(1)$197^{2}$；(2)$2023^{2}-2022× 2024$.
答案：
(1)解：$197^{2}$
$=(200-3)^{2}$
$=200^{2}-2×200×3+3^{2}$
$=40000-1200+9$
$=38809$
(2)解：$2023^{2}-2022×2024$
$=2023^{2}-(2023-1)(2023+1)$
$=2023^{2}-(2023^{2}-1^{2})$
$=2023^{2}-2023^{2}+1$
$=1$
(1)解：$197^{2}$
$=(200-3)^{2}$
$=200^{2}-2×200×3+3^{2}$
$=40000-1200+9$
$=38809$
(2)解：$2023^{2}-2022×2024$
$=2023^{2}-(2023-1)(2023+1)$
$=2023^{2}-(2023^{2}-1^{2})$
$=2023^{2}-2023^{2}+1$
$=1$
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