《2025年中学生世界七年级数学上册沪教版五四制》

14. 先化简,再求值：$(3x^{3}-\frac{1}{2}x^{2})\cdot (-x)-(2x^{4}-x^{5})÷ (\frac{1}{3}x)$,其中$x = -2$.

答案： 解：原式$=3x^{3}\cdot (-x)-\frac{1}{2}x^{2}\cdot (-x)-(2x^{4}÷ \frac{1}{3}x - x^{5}÷ \frac{1}{3}x)$
$=-3x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}-(6x^{3}-3x^{4})$
$=-3x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}-6x^{3}+3x^{4}$
$=-\frac{11}{2}x^{3}$
当$x=-2$时，原式$=-\frac{11}{2}× (-2)^{3}=-\frac{11}{2}× (-8)=44$

15. 已知$2x - y = 0$,求代数式$[(x^{2}+y^{2})-(x - y)^{2}+2y(x - y)]÷ 4y$的值.

答案： 解：原式$=[x^{2}+y^{2}-(x^{2}-2xy+y^{2})+2xy-2y^{2}]÷4y$
$=(x^{2}+y^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}+2xy-2y^{2})÷4y$
$=(4xy-2y^{2})÷4y$
$=4xy÷4y-2y^{2}÷4y$
$=x-\frac{1}{2}y$
因为$2x - y = 0$，所以$y = 2x$。
将$y = 2x$代入$x-\frac{1}{2}y$，得$x-\frac{1}{2}×2x=x - x=0$。
故代数式的值为$0$。

思维与拓展 21
已知$3x^{3}-12x^{2}-17x + 10能被ax^{2}+ax - 2$整除,且商式为$x + 5b$,试求$a$,$b$的值.

答案： 解：因为被除式等于除式乘以商式，所以有：
$(ax^{2} + ax - 2)(x + 5b) = 3x^{3} - 12x^{2} - 17x + 10$
将左边展开：
$\begin{aligned}&ax^{2} \cdot x + ax^{2} \cdot 5b + ax \cdot x + ax \cdot 5b - 2 \cdot x - 2 \cdot 5b\\=&ax^{3} + 5abx^{2} + ax^{2} + 5abx - 2x - 10b\\=&ax^{3} + (5ab + a)x^{2} + (5ab - 2)x - 10b\end{aligned}$
根据对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}a = 3 & (1)\\5ab + a = -12 & (2)\\5ab - 2 = -17 & (3)\\-10b = 10 & (4)\end{cases}$
由方程（1）得 $a = 3$。
由方程（4）得：$-10b = 10$，解得 $b = -1$。
将 $a = 3$，$b = -1$ 代入方程（2）：左边 $= 5×3×(-1) + 3 = -15 + 3 = -12$，右边 $= -12$，成立。
代入方程（3）：左边 $= 5×3×(-1) - 2 = -15 - 2 = -17$，右边 $= -17$，成立。
所以 $a = 3$，$b = -1$。
答：$a$ 的值为 3，$b$ 的值为 -1。