《2025年中学生世界七年级数学上册沪教版五四制》

17. 计算：
(1)$(a-2b)^{2}(a+2b)^{2}$；(2)$(x+2y-3)^{2}$.

答案：
(1)解：原式$=[(a-2b)(a+2b)]^{2}$
$=(a^{2}-4b^{2})^{2}$
$=a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}$
(2)解：原式$=[(x+2y)-3]^{2}$
$=(x+2y)^{2}-2(x+2y)\cdot3+3^{2}$
$=x^{2}+4xy+4y^{2}-6x-12y+9$

思维与拓展 17
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如：$4= 2^{2}-0^{2}$,$12= 4^{2}-2^{2}$,$20= 6^{2}-4^{2}$,因此,4,12,20 这三个数都是神秘数.
(1)28 和 2020 这两个数是神秘数吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为$2k+2和2k$(其中$k$取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗？为什么？

答案：
(1)解：28是神秘数，2020是神秘数。
设两个连续偶数为$2m+2$和$2m$（$m$为非负整数），则神秘数为$(2m+2)^{2}-(2m)^{2}$。
对于28：$(2m+2)^{2}-(2m)^{2}=28$，展开得$4m^{2}+8m + 4-4m^{2}=28$，即$8m+4=28$，解得$m=3$，此时两个连续偶数为8和6，$8^{2}-6^{2}=64 - 36=28$，所以28是神秘数。
对于2020：$(2m+2)^{2}-(2m)^{2}=2020$，展开得$8m + 4=2020$，解得$m=252$，此时两个连续偶数为506和504，$506^{2}-504^{2}=(506 - 504)(506 + 504)=2×1010=2020$，所以2020是神秘数。
(2)解：是4的倍数。
由两个连续偶数$2k + 2$和$2k$构造的神秘数为$(2k+2)^{2}-(2k)^{2}$，展开得$4k^{2}+8k + 4-4k^{2}=8k + 4=4(2k + 1)$，因为$k$为非负整数，所以$2k+1$是整数，因此神秘数是4的倍数。