《2025年中学生世界七年级数学上册沪教版五四制》

14. 已知关于 $x$ 的多项式 $(a - b)x^{4}+(b - 1)x^{3}-(a - 2)x^{2}+ax - 4$ 中不含 $x^{3}$ 项与 $x^{2}$ 项,试写出这个多项式,并求出当 $x = - 2$ 时,这个多项式的值.

答案： 解：因为多项式不含$x^3$项与$x^2$项，所以$x^3$项和$x^2$项的系数为$0$。
$b - 1 = 0$，解得$b = 1$；
$-(a - 2) = 0$，解得$a = 2$。
将$a = 2$，$b = 1$代入多项式得：
$(2 - 1)x^4 + (1 - 1)x^3 - (2 - 2)x^2 + 2x - 4 = x^4 + 2x - 4$。
当$x = -2$时，
原式$=(-2)^4 + 2×(-2) - 4 = 16 - 4 - 4 = 8$。
答：这个多项式为$x^4 + 2x - 4$，当$x = -2$时，多项式的值为$8$。

15. 先化简,再求值：$(-a^{3}-3a^{2}+7a - 8)-(3a^{3}-2a^{2}-5a + 2)-(-a^{3}-2a^{2}+4)$,其中 $a= \frac{1}{2}$.

答案： 解：$(-a^{3}-3a^{2}+7a - 8)-(3a^{3}-2a^{2}-5a + 2)-(-a^{3}-2a^{2}+4)$
$=-a^{3}-3a^{2}+7a - 8 - 3a^{3}+2a^{2}+5a - 2 + a^{3}+2a^{2}-4$
$=(-a^{3}-3a^{3}+a^{3})+(-3a^{2}+2a^{2}+2a^{2})+(7a+5a)+(-8-2-4)$
$=-3a^{3}+a^{2}+12a-14$
当$a=\frac{1}{2}$时，
原式$=-3×(\frac{1}{2})^{3}+(\frac{1}{2})^{2}+12×\frac{1}{2}-14$
$=-3×\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+6-14$
$=-\frac{3}{8}+\frac{2}{8}-8$
$=-\frac{1}{8}-8$
$=-8\frac{1}{8}$

16. 已知：$A= -x^{2}-1$,$A - B= -x^{3}+2x^{2}-5$,求 $B$.

答案： 解：因为 $ A - B = -x^3 + 2x^2 - 5 $，所以 $ B = A - (-x^3 + 2x^2 - 5) $。
已知 $ A = -x^2 - 1 $，代入上式得：
$ B = (-x^2 - 1) - (-x^3 + 2x^2 - 5) $
$ = -x^2 - 1 + x^3 - 2x^2 + 5 $
$ = x^3 + (-x^2 - 2x^2) + (-1 + 5) $
$ = x^3 - 3x^2 + 4 $
故 $ B = x^3 - 3x^2 + 4 $。

思维与拓展 8
现有两个多项式,它们同时满足下列条件：
①多项式中均只含有字母 $x$；
②每个多项式中各项系数的绝对值均为 2；
③这两个多项式的和是一个五次单项式,这两个多项式的差是一个一次单项式.
求这两个多项式.

答案： 解：设这两个多项式分别为 $A$ 和 $B$。
由条件①②，设 $A = 2x^5 + ax$，$B = bx^5 + cx$（其中 $a, b, c$ 的绝对值为 2）。
因为 $A + B$ 是五次单项式，所以 $x^5$ 项系数不为 0，$x$ 项系数为 0，即：
$2 + b \neq 0$，$a + c = 0$。
因为 $A - B$ 是一次单项式，所以 $x^5$ 项系数为 0，$x$ 项系数不为 0，即：
$2 - b = 0$，$a - c \neq 0$。
由 $2 - b = 0$ 得 $b = 2$。
由 $a + c = 0$ 得 $c = -a$，代入 $a - c \neq 0$ 得 $2a \neq 0$，又 $|a| = 2$，则 $a = 2$ 或 $a = -2$。
当 $a = 2$ 时，$c = -2$，此时 $A = 2x^5 + 2x$，$B = 2x^5 - 2x$；
当 $a = -2$ 时，$c = 2$，此时 $A = 2x^5 - 2x$，$B = 2x^5 + 2x$。
综上，这两个多项式为 $2x^5 + 2x$ 和 $2x^5 - 2x$。