《2025年中学生世界七年级数学上册沪教版五四制》

16. 计算:$(2x-3y)(x^{2}-2xy+5y^{2})$.

答案： 解：$(2x-3y)(x^{2}-2xy+5y^{2})$
$=2x\cdot x^{2}+2x\cdot (-2xy)+2x\cdot 5y^{2}-3y\cdot x^{2}-3y\cdot (-2xy)-3y\cdot 5y^{2}$
$=2x^{3}-4x^{2}y+10xy^{2}-3x^{2}y+6xy^{2}-15y^{3}$
$=2x^{3}-7x^{2}y+16xy^{2}-15y^{3}$

17. 求多项式$2x^{3}-x+1与x^{2}+4x-7的乘积中含有x^{3}$项的系数.

答案： 解：$(2x^{3}-x+1)(x^{2}+4x-7)$
$=2x^{3}\cdot x^{2}+2x^{3}\cdot4x +2x^{3}\cdot(-7)-x\cdot x^{2}-x\cdot4x -x\cdot(-7)+1\cdot x^{2}+1\cdot4x +1\cdot(-7)$
$=2x^{5}+8x^{4}-14x^{3}-x^{3}-4x^{2}+7x+x^{2}+4x-7$
合并同类项后，$x^{3}$项为$(-14x^{3}-x^{3})=-15x^{3}$
故含有$x^{3}$项的系数为$-15$。

18. 解方程:$(1-3x)^{2}+(2x-1)^{2}= 13(x-1)(x+1)$.

答案： 解：展开方程左边得：$(1 - 6x + 9x^2) + (4x^2 - 4x + 1) = 13x^2 - 10x + 2$
展开方程右边得：$13(x^2 - 1) = 13x^2 - 13$
原方程化为：$13x^2 - 10x + 2 = 13x^2 - 13$
移项得：$-10x = -15$
解得：$x = \frac{3}{2}$

思维与拓展 15
探索规律,回答问题:
(1)填空:
①$(x-1)(x+1)=$$x^{2}-1$; ②$(x-1)(x^{2}+x+1)=$$x^{3}-1$;
③$(x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)=$$x^{4}-1$; ④$(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)=$$x^{5}-1$.
(2)根据前面各式的规律,可得$(x-1)(x^{n}+x^{n-1}+... +x+1)=$$x^{n+1}-1$.
(3)试求$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+2^{6}$的值.
解：原式$=(2-1)(2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1)=2^{7}-1=128-1=127$

答案：
(1)①$x^{2}-1$；②$x^{3}-1$；③$x^{4}-1$；④$x^{5}-1$
(2)$x^{n+1}-1$
(3)解：原式$=(2-1)(2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2+1)=2^{7}-1=128-1=127$