《2025年中学生世界七年级数学上册沪教版五四制》

3. 已知二项式$- x^3y^2 - 2$中,含字母的项的系数为$a$,多项式的次数为$b$,且$a$,$b在数轴上对应的点分别为A$,$B$,点$C$为数轴上任意一点,对应的数为$c$.
(1)$a = $-1,$b = $5,并在数轴上标出$A$,$B$；
(2)当点$C为线段AB$的三等分点时,求$c$的值；
解：$AB = 5 - (-1) = 6$。
当点$C$靠近点$A$时，$AC = \frac{1}{3}AB = 2$，$c = -1 + 2 = 1$；
当点$C$靠近点$B$时，$AC = \frac{2}{3}AB = 4$，$c = -1 + 4 = 3$。
综上，$c$的值为$1$或$3$。
(3)在(2)的条件下,若点$C离点B$较近时,点$P$,$Q$,$M分别从点A$,$B$,$C$同时向左运动,其速度分别为每秒$2$个单位长度、$1个单位长度和4$个单位长度. 是否存在常数$k$,使$kQM - 3PQ$为定值？若存在,求$k$的值；若不存在,请说明理由.
解：由题意得$c = 3$。设运动时间为$t$秒。
$P$对应的数：$-1 - 2t$；$Q$对应的数：$5 - t$；$M$对应的数：$3 - 4t$。
$QM = |(5 - t) - (3 - 4t)| = |2 + 3t| = 2 + 3t$（$t \geq 0$）；
$PQ = |(5 - t) - (-1 - 2t)| = |6 + t| = 6 + t$（$t \geq 0$）。
$kQM - 3PQ = k(2 + 3t) - 3(6 + t) = (3k - 3)t + (2k - 18)$。
令$3k - 3 = 0$，解得$k = 1$。
此时$2k - 18 = -16$，为定值。
故存在$k = 1$。

答案：
(1) $a = -1$, $b = 5$。
(2) 解：$AB = 5 - (-1) = 6$。
当点$C$靠近点$A$时，$AC = \frac{1}{3}AB = 2$，$c = -1 + 2 = 1$；
当点$C$靠近点$B$时，$AC = \frac{2}{3}AB = 4$，$c = -1 + 4 = 3$。
综上，$c$的值为$1$或$3$。
(3) 解：由题意得$c = 3$。设运动时间为$t$秒。
$P$对应的数：$-1 - 2t$；$Q$对应的数：$5 - t$；$M$对应的数：$3 - 4t$。
$QM = |(5 - t) - (3 - 4t)| = |2 + 3t| = 2 + 3t$（$t \geq 0$）；
$PQ = |(5 - t) - (-1 - 2t)| = |6 + t| = 6 + t$（$t \geq 0$）。
$kQM - 3PQ = k(2 + 3t) - 3(6 + t) = (3k - 3)t + (2k - 18)$。
令$3k - 3 = 0$，解得$k = 1$。
此时$2k - 18 = -16$，为定值。
故存在$k = 1$。