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1. 下列计算正确的是(
A.$ 12 a ^ { 3 } b ^ { 3 } c ÷ 6 a b ^ { 2 } = 2 a b $；
B.$ a ^ { 5 } b ^ { 4 } ÷ 2 a ^ { 3 } b = 2 a ^ { 2 } b ^ { 3 } $；
C.$ - 18 a ^ { 2 } b ^ { 2 } ÷ 6 a ^ { 2 } b = - \frac { 4 } { 3 } b $；
D.$ - 4 a b ^ { 2 } ÷ 2 a b = - 2 b $.
D
)A.$ 12 a ^ { 3 } b ^ { 3 } c ÷ 6 a b ^ { 2 } = 2 a b $；
B.$ a ^ { 5 } b ^ { 4 } ÷ 2 a ^ { 3 } b = 2 a ^ { 2 } b ^ { 3 } $；
C.$ - 18 a ^ { 2 } b ^ { 2 } ÷ 6 a ^ { 2 } b = - \frac { 4 } { 3 } b $；
D.$ - 4 a b ^ { 2 } ÷ 2 a b = - 2 b $.
答案：
【解析】：
本题主要考察单项式的除法运算规则，即系数、相同字母的幂分别相除。
对于选项A：
$12a^{3}b^{3}c ÷ 6ab^{2} = \frac{12}{6} × a^{(3-1)} × b^{(3-2)} × c = 2a^{2}bc$
与选项A给出的$2ab$不符，故A错误。
对于选项B：
$a^{5}b^{4} ÷ 2a^{3}b = \frac{1}{2} × a^{(5-3)} × b^{(4-1)} = \frac{1}{2}a^{2}b^{3}$
与选项B给出的$2a^{2}b^{3}$不符，故B错误。
对于选项C：
$-18a^{2}b^{2} ÷ 6a^{2}b = \frac{-18}{6} × a^{(2-2)} × b^{(2-1)} = -3b$
与选项C给出的$-\frac{4}{3}b$不符，故C错误。
对于选项D：
$-4ab^{2} ÷ 2ab = \frac{-4}{2} × a^{(1-1)} × b^{(2-1)} = -2b$
与选项D给出的$-2b$相符，故D正确。
【答案】：
D
本题主要考察单项式的除法运算规则，即系数、相同字母的幂分别相除。
对于选项A：
$12a^{3}b^{3}c ÷ 6ab^{2} = \frac{12}{6} × a^{(3-1)} × b^{(3-2)} × c = 2a^{2}bc$
与选项A给出的$2ab$不符，故A错误。
对于选项B：
$a^{5}b^{4} ÷ 2a^{3}b = \frac{1}{2} × a^{(5-3)} × b^{(4-1)} = \frac{1}{2}a^{2}b^{3}$
与选项B给出的$2a^{2}b^{3}$不符，故B错误。
对于选项C：
$-18a^{2}b^{2} ÷ 6a^{2}b = \frac{-18}{6} × a^{(2-2)} × b^{(2-1)} = -3b$
与选项C给出的$-\frac{4}{3}b$不符，故C错误。
对于选项D：
$-4ab^{2} ÷ 2ab = \frac{-4}{2} × a^{(1-1)} × b^{(2-1)} = -2b$
与选项D给出的$-2b$相符，故D正确。
【答案】：
D
2. 计算 $ ( - x ^ { 2 } y ) ^ { 3 } ÷ ( - x ^ { 2 } y ) ^ { 2 } $ 的结果等于(
A.$ - x y ^ { 2 } $；
B.$ x y ^ { 2 } $；
C.$ x ^ { 2 } y $；
D.$ - x ^ { 2 } y $.
D
)A.$ - x y ^ { 2 } $；
B.$ x y ^ { 2 } $；
C.$ x ^ { 2 } y $；
D.$ - x ^ { 2 } y $.
答案：
解：$(-x^{2}y)^{3}÷(-x^{2}y)^{2}$
$=(-x^{2}y)^{3-2}$
$=-x^{2}y$
答案：D
$=(-x^{2}y)^{3-2}$
$=-x^{2}y$
答案：D
3. 若 $ x ^ { 2 a } = 25 $,则 $ x ^ { a } $ 等于(
A.5；
B.-5；
C.$ \pm 5 $；
D.625.
C
)A.5；
B.-5；
C.$ \pm 5 $；
D.625.
答案：
【解析】：
本题主要考察幂的运算法则，特别是幂的乘方与积的乘方运算法则。
给定 $x^{2a} = 25$，我们需要求 $x^a$ 的值。
根据幂的性质，我们有 $(x^a)^2 = x^{2a}$。
因为 $x^{2a} = 25$，所以 $(x^a)^2 = 25$。
解这个方程，我们得到 $x^a = \pm 5$（注意，这里 $x^a$ 可以是5或-5，因为两个数的平方都是25）。
【答案】：
C. $\pm 5$。
本题主要考察幂的运算法则，特别是幂的乘方与积的乘方运算法则。
给定 $x^{2a} = 25$，我们需要求 $x^a$ 的值。
根据幂的性质，我们有 $(x^a)^2 = x^{2a}$。
因为 $x^{2a} = 25$，所以 $(x^a)^2 = 25$。
解这个方程，我们得到 $x^a = \pm 5$（注意，这里 $x^a$ 可以是5或-5，因为两个数的平方都是25）。
【答案】：
C. $\pm 5$。
4. 计算 $ ( 18 x ^ { 4 } - 48 x ^ { 3 } + 6 x ) ÷ ( - 6 x ) $ 的结果是(
A.$ 3 x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } $；
B.$ - 3 x ^ { 3 } + 8 x ^ { 2 } $；
C.$ - 3 x ^ { 3 } + 8 x ^ { 2 } - 1 $；
D.$ 3 x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } - 1 $.
C
)A.$ 3 x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } $；
B.$ - 3 x ^ { 3 } + 8 x ^ { 2 } $；
C.$ - 3 x ^ { 3 } + 8 x ^ { 2 } - 1 $；
D.$ 3 x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } - 1 $.
答案：
解：$(18x^4 - 48x^3 + 6x)÷(-6x)$
$=18x^4÷(-6x) - 48x^3÷(-6x) + 6x÷(-6x)$
$=-3x^3 + 8x^2 - 1$
故选C.
$=18x^4÷(-6x) - 48x^3÷(-6x) + 6x÷(-6x)$
$=-3x^3 + 8x^2 - 1$
故选C.
5. 计算：$ - a ^ { 4 } ÷ ( - a ) ^ { 2 } = $
$-a^2$
.
答案：
【解析】：
根据幂的除法法则，当底数相同时，指数相减。即$a^m ÷ a^n = a^(m-n)$。
同时，注意到题目中的负号和幂的运算顺序，需要先计算幂，再进行除法。
原式可以写为：$- a ^ { 4 } ÷ ( - a ) ^ { 2 } = - a ^ { 4 } ÷ a ^ { 2 }$（因为$(-a)^2 = a^2$），
再根据幂的除法法则，得到：$- a ^ { 4 - 2 } = - a ^ { 2 }$ 的计算过程中，负号在幂运算后保留，
但由于是偶数次幂，结果仍为正，与外面的负号相乘，最终结果为负的$a^2$的相反数，即$-a^{2}$（注意这里的负号在幂运算完成后保留）。
但考虑到原题中的形式，我们可以直接简化为：$- a ^ { 4 } ÷ a ^ { 2 } = - a ^ { 2 }$（因为负号在外，且$a^2$为正，所以结果为$-a^2$的简化形式仍为$-a^2$，也可以理解为$-1$乘以$a^2$）。
【答案】：
$- a ^ { 2 }$
根据幂的除法法则，当底数相同时，指数相减。即$a^m ÷ a^n = a^(m-n)$。
同时，注意到题目中的负号和幂的运算顺序，需要先计算幂，再进行除法。
原式可以写为：$- a ^ { 4 } ÷ ( - a ) ^ { 2 } = - a ^ { 4 } ÷ a ^ { 2 }$（因为$(-a)^2 = a^2$），
再根据幂的除法法则，得到：$- a ^ { 4 - 2 } = - a ^ { 2 }$ 的计算过程中，负号在幂运算后保留，
但由于是偶数次幂，结果仍为正，与外面的负号相乘，最终结果为负的$a^2$的相反数，即$-a^{2}$（注意这里的负号在幂运算完成后保留）。
但考虑到原题中的形式，我们可以直接简化为：$- a ^ { 4 } ÷ a ^ { 2 } = - a ^ { 2 }$（因为负号在外，且$a^2$为正，所以结果为$-a^2$的简化形式仍为$-a^2$，也可以理解为$-1$乘以$a^2$）。
【答案】：
$- a ^ { 2 }$
6. 计算：$ ( - a ) ^ { 3 } ÷ ( - a ) ^ { 2 } = $
$-a$
.
答案：
【解析】：
根据指数运算法则，当底数相同时，指数相除等于指数相减。即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$。
所以，$( - a ) ^ { 3 } ÷ ( - a ) ^ { 2 } = ( - a ) ^ {3 - 2} = - a ^ {1} = - a$，
但考虑到负数的奇数次幂仍为负数，而负数的偶数次幂为正数，$( - a ) ^ { 2 }$为正数，$( - a ) ^ { 3 }$为负数，
所以，实际计算中，$( - a ) ^ { 3 } ÷ ( - a ) ^ { 2 }$的结果应为负，
因此，$( - a ) ^ { 3 } ÷ ( - a ) ^ { 2 } = - a$。
【答案】：
$- a$。
根据指数运算法则，当底数相同时，指数相除等于指数相减。即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$。
所以，$( - a ) ^ { 3 } ÷ ( - a ) ^ { 2 } = ( - a ) ^ {3 - 2} = - a ^ {1} = - a$，
但考虑到负数的奇数次幂仍为负数，而负数的偶数次幂为正数，$( - a ) ^ { 2 }$为正数，$( - a ) ^ { 3 }$为负数，
所以，实际计算中，$( - a ) ^ { 3 } ÷ ( - a ) ^ { 2 }$的结果应为负，
因此，$( - a ) ^ { 3 } ÷ ( - a ) ^ { 2 } = - a$。
【答案】：
$- a$。
7. 计算：$ x ^ { 4 } \cdot $
$x^5$
$ = x ^ { 9 } $.
答案：
【解析】：
本题主要考察同底数幂的乘法法则，即当底数相同时，指数相加。
设缺失的因子为$x^a$，则题目可以表示为：
$x^4 \cdot x^a = x^9$，
根据同底数幂的乘法法则，我们有：
$x^{4+a} = x^9$，
由于底数相同，我们可以直接比较指数，得到：
$4 + a = 9$，
解这个方程，我们得到：
$a = 9 - 4 = 5$，
所以，缺失的因子是$x^5$。
【答案】：
$x ^ { 5 }$
本题主要考察同底数幂的乘法法则，即当底数相同时，指数相加。
设缺失的因子为$x^a$，则题目可以表示为：
$x^4 \cdot x^a = x^9$，
根据同底数幂的乘法法则，我们有：
$x^{4+a} = x^9$，
由于底数相同，我们可以直接比较指数，得到：
$4 + a = 9$，
解这个方程，我们得到：
$a = 9 - 4 = 5$，
所以，缺失的因子是$x^5$。
【答案】：
$x ^ { 5 }$
8. 计算：$ a ^ { n + 5 } ÷ a ^ { n } = $
$a^{5}$
.
答案：
【解析】：
本题主要考察同底数幂的除法法则。根据同底数幂的除法法则，当底数相同时，指数相减。即$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$。
应用这一法则到题目中给出的表达式$a^{n+5} ÷ a^{n}$，可以得到：
$a^{n+5} ÷ a^{n} = a^{(n+5)-n} = a^{5}$。
【答案】：
$a^{5}$
本题主要考察同底数幂的除法法则。根据同底数幂的除法法则，当底数相同时，指数相减。即$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$。
应用这一法则到题目中给出的表达式$a^{n+5} ÷ a^{n}$，可以得到：
$a^{n+5} ÷ a^{n} = a^{(n+5)-n} = a^{5}$。
【答案】：
$a^{5}$
9. 若 $ a ^ { m } = 2 $,$ a ^ { n } = 3 $,则 $ a ^ { m - n } = $
$\frac{2}{3}$
.
答案：
【解析】：
本题主要考察同底数幂的除法运算法则，即$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$。
根据题目给出的条件，有$a^{m} = 2$和$a^{n} = 3$。
要求$a^{m-n}$，可以将$a^{m-n}$转化为$a^{m} ÷ a^{n}$，然后利用已知的$a^{m}$和$a^{n}$的值进行计算。
【答案】：
解：
∵ $a^{m} = 2$，$a^{n} = 3$，
∴ $a^{m - n} = a^{m} ÷ a^{n} = 2 ÷ 3 = \frac{2}{3}$。
故答案为：$\frac{2}{3}$。
本题主要考察同底数幂的除法运算法则，即$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$。
根据题目给出的条件，有$a^{m} = 2$和$a^{n} = 3$。
要求$a^{m-n}$，可以将$a^{m-n}$转化为$a^{m} ÷ a^{n}$，然后利用已知的$a^{m}$和$a^{n}$的值进行计算。
【答案】：
解：
∵ $a^{m} = 2$，$a^{n} = 3$，
∴ $a^{m - n} = a^{m} ÷ a^{n} = 2 ÷ 3 = \frac{2}{3}$。
故答案为：$\frac{2}{3}$。
10. 计算：$ ( x ^ { 3 } \cdot x ^ { 4 } ) ÷ $
$x^{7}$
$ = 1 $.
答案：
解：设横线上的整式为$A$。
因为$(x^{3} \cdot x^{4}) ÷ A = 1$，
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{3} \cdot x^{4}=x^{3 + 4}=x^{7}$，
所以$x^{7} ÷ A = 1$，
则$A = x^{7} ÷ 1 = x^{7}$。
$x^{7}$
因为$(x^{3} \cdot x^{4}) ÷ A = 1$，
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{3} \cdot x^{4}=x^{3 + 4}=x^{7}$，
所以$x^{7} ÷ A = 1$，
则$A = x^{7} ÷ 1 = x^{7}$。
$x^{7}$
11. 计算：$ ( x ^ { 8 } ÷ x ^ { 2 } ) ^ { 3 } ÷ ( x ^ { 4 } ) ^ { 3 } \cdot x ^ { 6 } = $______
$x^{12}$
.
答案：
【解析】：
本题主要考查幂的乘方、同底数幂的除法以及同底数幂的乘法。
首先，我们根据幂的乘方运算法则，有 $(a^m)^n = a^{m × n}$，所以 $(x^8 ÷ x^2)^3$ 可以化简为 $(x^{8-2})^3 = (x^6)^3 = x^{6 × 3} = x^{18}$。
接着，我们处理 $(x^4)^3$，同样根据幂的乘方运算法则，得到 $(x^4)^3 = x^{4 × 3} = x^{12}$。
然后，我们进行同底数幂的除法，即 $a^m ÷ a^n = a^{m-n}$，所以 $x^{18} ÷ x^{12}$ 可以化简为 $x^{18-12} = x^6$。
最后，我们进行同底数幂的乘法，即 $a^m × a^n = a^{m+n}$，所以 $x^6 \cdot x^6$ 可以化简为 $x^{6+6} = x^{12}$。
【答案】：
$x^{12}$
本题主要考查幂的乘方、同底数幂的除法以及同底数幂的乘法。
首先，我们根据幂的乘方运算法则，有 $(a^m)^n = a^{m × n}$，所以 $(x^8 ÷ x^2)^3$ 可以化简为 $(x^{8-2})^3 = (x^6)^3 = x^{6 × 3} = x^{18}$。
接着，我们处理 $(x^4)^3$，同样根据幂的乘方运算法则，得到 $(x^4)^3 = x^{4 × 3} = x^{12}$。
然后，我们进行同底数幂的除法，即 $a^m ÷ a^n = a^{m-n}$，所以 $x^{18} ÷ x^{12}$ 可以化简为 $x^{18-12} = x^6$。
最后，我们进行同底数幂的乘法，即 $a^m × a^n = a^{m+n}$，所以 $x^6 \cdot x^6$ 可以化简为 $x^{6+6} = x^{12}$。
【答案】：
$x^{12}$
12. 计算：$ ( 15 x ^ { 2 } y - 10 x ) ÷ 5 x = $______.
答案：
【解析】：
本题主要考察多项式除以单项式的运算。
多项式除以单项式，就是用多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加。
对于$(15x^{2}y-10x)÷5x$，可以分别将$15x^{2}y$和$-10x$除以$5x$，再将所得的商相加。
计算$15x^{2}y÷5x$，根据单项式除法的运算法则，系数与系数相除，字母部分按照同底数幂的除法规则进行，
得到$15÷5× x^{2-1}y=3xy$。
计算$-10x÷5x$，同样根据单项式除法的运算法则，得到$-10÷5× x^{1-1}=-2$。
将以上两个商相加，即$3xy-2$。
【答案】：
$3xy - 2$
本题主要考察多项式除以单项式的运算。
多项式除以单项式，就是用多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加。
对于$(15x^{2}y-10x)÷5x$，可以分别将$15x^{2}y$和$-10x$除以$5x$，再将所得的商相加。
计算$15x^{2}y÷5x$，根据单项式除法的运算法则，系数与系数相除，字母部分按照同底数幂的除法规则进行，
得到$15÷5× x^{2-1}y=3xy$。
计算$-10x÷5x$，同样根据单项式除法的运算法则，得到$-10÷5× x^{1-1}=-2$。
将以上两个商相加，即$3xy-2$。
【答案】：
$3xy - 2$
13. 计算：$ ( 16 x ^ { 2 } y ^ { 4 } - 2 x y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } x y ) ÷ ( - \frac { 1 } { 4 } x y ) = $
$- 64xy^{3} + 8y - 1$
.
答案：
【解析】：
本题主要考查多项式除以单项式的运算法则，即需要将多项式的每一项分别除以给定的单项式。
【答案】：
解：原式=$ (16x^{2}y^{4} - 2xy^{2} + \frac{1}{4}xy) ÷ ( - \frac{1}{4}xy)$
$= 16x^{2}y^{4} ÷ ( - \frac{1}{4}xy) - 2xy^{2} ÷ ( - \frac{1}{4}xy) + \frac{1}{4}xy ÷ ( - \frac{1}{4}xy)$
$= - 64xy^{3} + 8y - 1$
故答案为：$- 64xy^{3} + 8y - 1$。
本题主要考查多项式除以单项式的运算法则，即需要将多项式的每一项分别除以给定的单项式。
【答案】：
解：原式=$ (16x^{2}y^{4} - 2xy^{2} + \frac{1}{4}xy) ÷ ( - \frac{1}{4}xy)$
$= 16x^{2}y^{4} ÷ ( - \frac{1}{4}xy) - 2xy^{2} ÷ ( - \frac{1}{4}xy) + \frac{1}{4}xy ÷ ( - \frac{1}{4}xy)$
$= - 64xy^{3} + 8y - 1$
故答案为：$- 64xy^{3} + 8y - 1$。
14. 计算：$ ( a x ^ { n + 3 } - b x ^ { n + 2 } ) ÷ x ^ { n - 1 } = $
$a x ^ { 4 } - b x ^ { 3 }$
.
答案：
【解析】：
题目考查的是多项式除以单项式的运算法则，即需要将多项式中的每一项分别除以给定的单项式。
根据幂的除法法则，当底数相同时，指数相减，即 $a^m ÷ a^n = a^{m-n}$。
应用这一法则，可以将 $( a x ^ { n + 3 } - b x ^ { n + 2 } ) ÷ x ^ { n - 1 }$ 分别对 $a x ^ { n + 3 }$ 和 $-b x ^ { n + 2 }$ 进行除法运算。
【答案】：
解：原式
= $a x ^ { n + 3 } ÷ x ^ { n - 1 } - b x ^ { n + 2 } ÷ x ^ { n - 1 }$
= $a x ^ { (n + 3) - (n - 1) } - b x ^ { (n + 2) - (n - 1) }$
= $a x ^ { 4 } - b x ^ { 3 }$
故答案为：$a x ^ { 4 } - b x ^ { 3 }$。
题目考查的是多项式除以单项式的运算法则，即需要将多项式中的每一项分别除以给定的单项式。
根据幂的除法法则，当底数相同时，指数相减，即 $a^m ÷ a^n = a^{m-n}$。
应用这一法则，可以将 $( a x ^ { n + 3 } - b x ^ { n + 2 } ) ÷ x ^ { n - 1 }$ 分别对 $a x ^ { n + 3 }$ 和 $-b x ^ { n + 2 }$ 进行除法运算。
【答案】：
解：原式
= $a x ^ { n + 3 } ÷ x ^ { n - 1 } - b x ^ { n + 2 } ÷ x ^ { n - 1 }$
= $a x ^ { (n + 3) - (n - 1) } - b x ^ { (n + 2) - (n - 1) }$
= $a x ^ { 4 } - b x ^ { 3 }$
故答案为：$a x ^ { 4 } - b x ^ { 3 }$。
15. 计算：
(1) $ ( - x ) ^ { 6 } ÷ ( - x ) ^ { 3 } × ( - x ) ^ { 2 } $；
(2) $ ( a b ) ^ { m + 1 } ÷ ( a b ) ^ { m - 1 } $.
(1) $ ( - x ) ^ { 6 } ÷ ( - x ) ^ { 3 } × ( - x ) ^ { 2 } $；
(2) $ ( a b ) ^ { m + 1 } ÷ ( a b ) ^ { m - 1 } $.
答案：
(1) 解：原式$=(-x)^{6-3+2}=(-x)^5=-x^5$
(2) 解：原式$=(ab)^{(m+1)-(m-1)}=(ab)^2=a^2b^2$
(1) 解：原式$=(-x)^{6-3+2}=(-x)^5=-x^5$
(2) 解：原式$=(ab)^{(m+1)-(m-1)}=(ab)^2=a^2b^2$
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