《2025年暑假活动实践与思考七年级合订本》

17. 如图所示,已知$CD$平分$∠ACB$,$DE// BC$.求证:$∠EDC = ∠ECD$.
(1)下面是小明同学的证明过程,请补全证明过程并在括号里填上恰当的依据.
证明:$\because DE// BC$(已知),
$\therefore∠EDC = $____( ).
又$\because CD$平分$∠ACB$(已知),
$\therefore∠ECD = $____$=\frac{1}{2}∠ACB$( ).
$\therefore∠EDC = ∠ECD$( ).
(2)小明证明完成后,接着上面的问题做了如下的尝试:
在$BC$边上任取一点$F$(不与$B,C$重合),以点$F$为顶点,$FB$为一边作$∠BFG$,使$∠BFG$的另一边$FG$交线段$AB$于点$G$,且$∠BFG = ∠EDC$.
①请在图中画出图形(作图工具和方法不限);
②请根据题目条件和画图时给出的条件,猜想$FG$与$CD$的位置关系,并证明.

答案：
17.
(1)$\angle DCB$ 两直线平行，内错角相等 $\angle DCB$ 角平分线的定义 等量代换
(2)解：①画图如图所示；
②$FG // CD$。证明如下：
$\because \angle EDC = \angle DCB$，
$\angle BFG = \angle EDC$，
$\therefore \angle BFG = \angle DCB$。
$\therefore FG // CD$。

18. “四书五经”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》(四书)及《诗经》《尚书》《易经》《礼记》《春秋》(五经)的总称,是一部被中国人读了几千年的教科书,包含了中国古代的政治理想和治国之道,是我们了解中国古代社会的一把钥匙.已知购买 3 本《论语》和 2 本《孟子》共需要 170 元,购买 5 本《论语》和 3 本《孟子》共需要 275 元.
(1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元?
(2)学校为了丰富学生的课余生活,举行了“书香阅读”活动,根据需要,学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共 50 本,其中《论语》不少于 38 本. 正逢书店“优惠促销”:《论语》的单价打 8 折,《孟子》的单价优惠 4 元.如果此次学校买书的总费用不超过 1500 元,则有几种购买方案? 为了节约资金,学校应选择哪种方案? 说明理由.

答案： 18.解：
(1)(过程略)《论语》和《孟子》这两种书的单价各是 40 元和 25 元；
(2)设购买《论语》$m$本，则购买《孟子》$(50 - m)$本。依题意，得
$40 \times 0.8m + (25 - 4)(50 - m) \leq 1500$。
解这个不等式，得$m \leq 40\frac{10}{11}$。
$\because m \geq 38$，$\therefore 38 \leq m \leq 40\frac{10}{11}$。
又$\because m$为正整数，
$\therefore m$可以取 38，39，40。
$\therefore$共有 3 种购买方案。
方案 1：购买《论语》38 本，《孟子》12 本，
所需总费用为$40 \times 0.8 \times 38 + (25 - 4) \times 12 = 1468$(元)；
方案 2：购买《论语》39 本，《孟子》11 本，
所需总费用为$40 \times 0.8 \times 39 + (25 - 4) \times 11 = 1479$(元)；
方案 3：购买《论语》40 本，《孟子》10 本，
所需总费用为$40 \times 0.8 \times 40 + (25 - 4) \times 10 = 1490$(元)。
$\because 1468 ＜ 1479 ＜ 1490$，
$\therefore$学校应选择方案 1：购买《论语》38 本，《孟子》12 本。