《2025年暑假活动实践与思考七年级合订本》

13. 如图所示，每个小正方形的边长均为 1.
（1）图中阴影部分的面积是17，边长是$\sqrt{17}$；
（2）估计边长的值在哪两个整数之间.4和5

答案： 解：
(1)$S_{阴影}=17$，边长是$\sqrt{17}$；
(2)$\because 4^{2}=16$，$5^{2}=25$，$\therefore 4 ＜ \sqrt{17} ＜ 5$.
$\therefore$边长的值在4到5之间.

14. 已知$A = \sqrt[a - 2]{a + b + 3}$是$a + b + 3$的算术平方根，$B = \sqrt[a - 2b + 3]{a + 2b}$是$a + 2b$的立方根，求$B - A$的立方根.
解：$\because A = ^{a - 2}\sqrt{a + b + 3}$是$a + b + 3$的算术平方根，$B = ^{a - 2b + 3}\sqrt{a + 2b}$是$a + 2b$的立方根，
$\therefore \begin{cases} a - 2 = 2 \\ a - 2b + 3 = 3 \end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases} a = 4 \\ b = 2 \end{cases}$
$\therefore a + b + 3 = 9$，$a + 2b = 8$.
$\therefore A = \sqrt{9} = 3$，$B = \sqrt[3]{8} = 2$.
$\therefore B - A = 2 - 3 = -1$.
$\therefore B - A$的立方根为$-1$.

答案： 解：$\because A = ^{a - 2}\sqrt{a + b + 3}$是$a + b + 3$的算术平方根，$B = ^{a - 2b + 3}\sqrt{a + 2b}$是$a + 2b$的立方根，
$\therefore \begin{cases} a - 2 = 2 \\ a - 2b + 3 = 3 \end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases} a = 4 \\ b = 2 \end{cases}$
$\therefore a + b + 3 = 9$，$a + 2b = 8$.
$\therefore A = \sqrt{9} = 3$，$B = \sqrt[3]{8} = 2$.
$\therefore B - A = 2 - 3 = -1$.
$\therefore B - A$的立方根为$-1$.

15. 无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来.
材料一：估算法确定无理数的小数部分.
$\because \sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，
$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为 2.
$\therefore \sqrt{7}$的小数部分为$\sqrt{7} - 2$；
材料二：面积法求一个无理数的近似值.
已知面积为 5 的正方形的边长是$\sqrt{5}$.
$\because 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$，
$\therefore$设$\sqrt{5} = 2 + x$（$x$为$\sqrt{5}$的小数部分，$0 ＜ x ＜ 1$）.
画出示意图，如图所示：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，
$S_{正方形} = x^2 + 2x + 2x + 4$.
$\because S_{正方形} = 5$，
$\therefore x^2 + 2x + 2x + 4 = 5$.
略去$x^2$，得方程$4x + 4 = 5$，解得$x = 0.25$，即$\sqrt{5} \approx 2.25$.

解决下列问题：
（1）结合你所学的知识，探究$\sqrt{10}$的近似值（结果精确到 0.01）；
（2）请总结估算$\sqrt{n}$（$n$为开方开不尽的数）的一般方法.

答案：
解：
(1)我们知道面积是10的正方形的边长是$\sqrt{10}$，易知$\sqrt{10} ＞ 3$，因此可设$\sqrt{10} = 3 + x$，可画出示意图.
由图，可知
$S_{正方形}=x^{2} + 2×3x + 9$.
$\because S_{正方形}=10$，

$\therefore x^{2} + 6x + 9 = 10$.
$\because x$是$\sqrt{10}$的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略$x^{2}$，
$\therefore$得方程$6x + 9 = 10$，解得$x≈0.17$，即$\sqrt{10}≈3.17$；
(2)估算$\sqrt{n}$（$n$为开方开不尽的数）的一般方法：求得$\sqrt{n}$的整数部分$a$，即可得到$\sqrt{n}=a+\frac{1}{2a}$.