《2025年暑假活动实践与思考七年级合订本》

活动1 探究将无限循环小数化为分数
小华有一次在观看《最强大脑》节目，节目中有这样一道智力题：无限循环小数$0.\dot{7}$和$0.\dot{1}\dot{9}$应怎样化为分数呢？小华脱口而出：$\frac{7}{9}$和$\frac{19}{99}$。
你知道小华是怎样准确迅速地化出来的吗？按照下面的方法试一试：
设$x = 0.\dot{7}$，即$x = 0.7777\cdots$，
将方程两边都乘10，得
$10x = 7.7777\cdots$，即$10x = 7 + 0.7777\cdots$。
又$\because x = 0.7777\cdots$，
$\therefore 10x = 7 + x$，解方程，得$x = \frac{7}{9}$。
$\therefore 0.\dot{7} = \frac{7}{9}$。
设$y = 0.\dot{1}\dot{9}$，即$y = 0.191919\cdots$，
将方程两边都乘100，得
$100y = 19.191919\cdots$，即$100y = 19 + 0.191919\cdots$。
又$\because y = 0.191919\cdots$，
$\therefore 100y = 19 + y$，解方程，得$y = \frac{19}{99}$。
$\therefore 0.\dot{1}\dot{9} = \frac{19}{99}$。
请你利用上面解一元一次方程的方法，写出下面混循环小数的分数形式。
(1)$0.0\dot{3} =$$\frac{1}{30}$； (2)$0.21\dot{1}\dot{9} =$$\frac{105}{499}$

答案： 活动1：
(1)$\frac{1}{30}$
(2)$\frac{105}{499}$ $\frac{949}{950}$

活动2 运用规律求一个正数的算术平方根和立方根
在一次手工制作活动中，根据所需，小兰剪了3个面积分别为$0.64cm^{2}$，$64cm^{2}$，$6400cm^{2}$的正方形纸。求这几个正方形纸的边长？她用计算器计算结果如下：
| 面积$/cm^{2}$ | $0.64$ | $64$ | $6400$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 边长$/cm$ | $0.8$ | $8$ | $80$ |
观察上表，发现被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位。
(1)请你运用上述规律，得出面积为$0.0064cm^{2}$的正方形纸的边长为0.08$cm$，面积为$640000cm^{2}$的正方形纸的边长为800$cm$。你发现其中的奥妙了吗？
(2)立方根也有这样的规律吗？请你先试着去找一找，再解答下面的问题：
已知$\sqrt[3]{3} \approx 1.442$，则$\sqrt[3]{3000} \approx$14.42，$\sqrt[3]{0.003} \approx$0.1442。

答案： 活动2：2 1
(1)0.08 800
(2)14.42 0.1442