《2025年暑假活动实践与思考七年级合订本》

8. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$∠A=90^{\circ}$，点$D$在$AC$边上，$DE// BC$。若$∠1=155^{\circ}$，则$∠B$的度数为________65°。

答案： 65°

9. 如图所示，直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$OE⊥AB$，$OF$平分$∠AOD$。若$∠AOC:∠COE=2:3$，则$∠DOF$的度数为72°。

答案： 72°

10. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射。由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如图所示，若平行光线由水中射向空气时所形成的$∠1=50^{\circ}$，$∠2=113^{\circ}$，则$∠3+∠4=$117°。

答案： 117°

11. 如图所示，将$\triangle ABC$平移到$\triangle A'B'C'$的位置（点$B'$在$AC$边上）。若$∠B=55^{\circ}$，$∠C=100^{\circ}$，则$∠AB'A'$的度数为25°。

答案： 25°

12. 在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板$GEF$的顶点$G$放置在直线$AB$上，旋转三角板。

（1）如图1所示，在$GE$边上任取一点$P$（不同于点$G$，$E$），过点$P$作$CD// AB$。若$∠1=27^{\circ}$，求$∠2$的度数；
（2）如图2所示，过点$E$作$CD// AB$，请探究并说明$∠AGF$与$∠CEF$之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点$G$转动，过点$E$作$CD// AB$，并保持点$E$在直线$AB$的上方。在旋转过程中，探究$∠AGF$与$∠CEF$之间的数量关系，并说明理由。

答案：
1. （1）
解：因为$\triangle GEF$是等腰直角三角板，所以$\angle FGE = 45^{\circ}$。
因为$CD// AB$，所以$\angle 2=\angle PGD$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$\angle PGD+\angle 1+\angle FGE = 180^{\circ}$（平角定义），$\angle 1 = 27^{\circ}$，$\angle FGE = 45^{\circ}$。
则$\angle PGD=180^{\circ}-\angle 1 - \angle FGE$。
把$\angle 1 = 27^{\circ}$，$\angle FGE = 45^{\circ}$代入得：$\angle PGD=180^{\circ}-27^{\circ}-45^{\circ}=108^{\circ}$。
所以$\angle 2 = 63^{\circ}$。
(2)∠AGF + ∠CEF = 90°.证明如下:如图所示，过点F作FP //AB.
∵CD //AB，

∴FP //AB //CD.
∴∠AGF = ∠PFG，
∠CEF = ∠PFE.
∴∠AGF + ∠CEF = ∠PFG + ∠PFE = ∠EFG.
∵∠EFG = 90°，
∴∠AGF + ∠CEF = 90°;
(3)①如图3 - 1所示，当点F在直线CD的上方时，过点F作MN //AB.
∵AB //CD，

∴MN //CD //AB.
∴∠AGF = ∠NFG，
∠CEF = ∠NFE.
∵∠NFG - ∠NFE = ∠EFG = 90°，
∴∠AGF - ∠CEF = 90°;
②如图3 - 2所示，当点F在直线AB与直线CD之间时，过点F作MN //AB.

由
(2)，可知∠AGF + ∠CEF = 90°;
③如图3 - 3所示，当点F在直线AB的下方时，过点F作MN //AB.

∵AB //CD，
∴MN //AB //CD，
∴∠AGF = ∠NFG，∠CEF = ∠NFE.
∵∠NFE - ∠NFG = ∠EFG = 90°，
∴∠CEF - ∠AGF = 90°.
综上所述，①当点F在直线CD的上方时，∠AGF - ∠CEF = 90°;
②当点F在直线AB与直线CD之间时，∠AGF + ∠CEF = 90°;
③当点F在直线AB的下方时，∠CEF - ∠AGF = 90°.