《2025年暑假活动实践与思考七年级合订本》

12. 如图所示,在平面直角坐标系中,直径为 $ 1 $ 个单位长度的圆从原点 $ O $ 出发,沿横轴向右滚动一周,圆上的一点由原点 $ O $ 到达点 $ O' $,圆心由点 $ M $ 到达点 $ M' $,则点 $ M' $ 对应的坐标是 ($\pi,\frac{1}{2}$).

答案： ($\pi,\frac{1}{2}$)

13. 在平面直角坐标系中,点 $ A(-5,3) $, $ B(3,3) $, $ C(4,1) $.若在平面直角坐标系中存在一点 $ D $,使得 $ AB \perp CD $,且 $ AB = 2CD $,则点 $ D $ 的坐标为 ____(4,5)或(4,−3).

答案： (4,5)或(4,−3)

14. 如果点 $ P(x,y) $ 的坐标满足 $ x + y = xy $,那么称点 $ P $ 为“和谐点”.若某个“和谐点”到 $ x $ 轴的距离为 $ 5 $,则 $ P $ 点的坐标为 ($\frac{5}{4}$,5)或($\frac{5}{6}$,−5).

答案： ($\frac{5}{4}$,5)或($\frac{5}{6}$,−5)

15. 如图所示,第一象限内有两点 $ P(m - 3,n) $, $ Q(m,n - 2) $,将线段 $ PQ $ 平移使点 $ P,Q $ 分别落在两条坐标轴上,则点 $ P $ 平移后的对应点的坐标是 ____(0,2)或(−3,0).

答案： (0,2)或(−3,0)

16. 如图所示,在平面直角坐标系中, $ AB \perp x $ 轴,垂足为 $ A $, $ BC \perp y $ 轴,垂足为 $ C $,已知点 $ B(a,b) $,其中 $ a,b $ 满足关系式 $ (a + 5)^2 + \sqrt{b + 3} = 0 $.
(1) 直接写出点 $ B $ 的坐标 ____;
(2) 如图 1 所示,点 $ Q $ 从原点出发,以每秒 $ 2 $ 个单位长度的速度沿着 $ O \to A \to B \to C \to O $ 的路线移动.
① 当点 $ Q $ 移动了 $ 3 $ 秒时,直接写出此时点 $ Q $ 的坐标 ____;
② 当点 $ Q $ 移动到距离 $ y $ 轴为 $ 4 $ 个单位长度时,求出点 $ Q $ 移动的时间;
(3) 如图 2 所示, $ M $ 为线段 $ AO $ 上一点,且 $ \angle CBM = \angle CMB $,点 $ N $ 是 $ x $ 轴正半轴上一动点, $ \angle MCN $ 的平分线 $ CD $ 交 $ BM $ 的延长线于点 $ D $,在点 $ N $ 运动的过程中, $ \frac{\angle D}{\angle CNM} $ 的值是否变化? 若不变,求出其值;若变化,请说明理由.(提示:延长 $ BC $ 至点 $ F $,过点 $ M $ 作 $ ME // CD $ 交 $ BC $ 于点 $ E $.)

答案：
解:
(1)(−5,−3)
(2)①(−5,−1)
②
∵点Q到y轴距离为4个单位长度，
∴点Q在OA或BC上。
当点Q在OA上时，OQ = 4，此时t = 2(秒)；
当点Q在BC上时，此时点Q运动了5 + 5 + 3 - 4 = 9(个单位长度)，t = 9÷2 = 4.5(秒)。
答:点Q移动的时间为2秒或4.5秒；
(3)$\frac{∠D}{∠CNM}$的值不变。
延长BC至点F，如图2所示。
∵OA//BC，
∴∠CBM = ∠AMB，
∠AMC = ∠MCF，
∵∠CBM = ∠CMB，
∴∠MCF = 2∠CMB。
过点M作ME//CD交BC于点E，
∴∠EMC = ∠MCD，∠D = ∠BME，
又
∵CD平分∠MCN，
∴∠MCN = 2∠MCD = 2∠EMC。
∴∠D = ∠BME = ∠CMB - ∠EMC，
∠CNM = ∠NCF = ∠MCF - ∠MCN = 2∠CMB - 2∠EMC = 2∠D。
∴$\frac{∠D}{∠CNM}=\frac{1}{2}$。