《2025年暑假活动实践与思考七年级合订本》

小红、小莉去花店买花.小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元.小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？

答案： 分析与解 设三种花的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元.依题意，得：
$\begin{cases}3x + 7y + z = 28, & ① \\4x + 10y + z = 32. & ②\end{cases}$
消去$z$，得
$x + 3y = 4. \quad ③$
显然无法求出确定的解.但注意到问题要求的是$2x + 2y + 2z$整体的值，我们可以在上式中“分离”出$x + y + z$，即
$\begin{cases}2(x + 3y) + (x + y + z) = 28, & ④ \\3(x + 3y) + (x + y + z) = 32. & ⑤\end{cases}$
可将④$\times3 -$⑤$\times2$，消去“多余部分”，即$x + 3y$，得到$x + y + z = 20$，问题解决了！用到的依然是多元方程的消元、转化的思想方法，消去的是不需要的代数式$x + 3y$；也可以把③代入④⑤两式中的任意一式，得到结果.这里消去的是一个代数式整体.

任务1：你所在的村委会（社区）举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖.原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人.最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人.调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分.已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的高多少？（提示：把原一等奖的平均分比二等奖的高多少看作一个整体.）

答案： 任务1:解:设原一等奖的平均分为$x$分,原二等奖的平均分为$y$分,原三等奖的平均分为$z$分.
$\because$总分不变,
$\therefore$
$\begin{cases} 5x + 15y + 40z = 10(x - 3) + 20(y - 2) + 30(z - 1),①\\ y = z + 7.②\\ \end{cases}$
由①,得$x + y - 2z = 20$.③
由②,得$z = y - 7$.④
将④代入③中,得$x + y - 2(y - 7) = 20$,
解得$x - y = 6$.
$\therefore$原定一等奖的平均分比二等奖的高6分.
$\because$调整后一等奖平均分降低3分,二等奖平均分降低2分,
$\therefore$调整后一等奖的平均分比二等奖的高$(x - 3) - (y - 2) = (x - y) - 1 = 6 - 1 = 5$(分).
答:调整后一等奖的平均分比二等奖的高5分.

任务2：想一想，结合你所接触的生活情境（或自创生活情境），试举出一个（或自编一道）还可以用“升级版的消元法”解决的示例（或问题）.

答案： 【解析】：“升级版的消元法”通常是在普通消元法基础上，可能涉及更复杂的方程形式、更多的未知数或者更巧妙的消元策略。我们可以结合生活中购物的情境来构造一个问题。
假设小明去超市买水果，已知买$3$斤苹果、$2$斤香蕉和$1$斤橙子共花费$35$元；买$2$斤苹果、$3$斤香蕉和$2$斤橙子共花费$40$元；买$1$斤苹果、$4$斤香蕉和$3$斤橙子共花费$45$元。问苹果、香蕉、橙子每斤各多少钱？
设苹果每斤$x$元，香蕉每斤$y$元，橙子每斤$z$元，可得到方程组：
$\begin{cases}3x + 2y+z = 35&(1)\\2x + 3y + 2z = 40&(2)\\x + 4y+3z = 45&(3)\end{cases}$
为了消去一个未知数，我们可以先将$(1)$式乘以$2$，得到$6x + 4y+2z = 70$ $(4)$，然后用$(4)$式减去$(2)$式：
$(6x + 4y+2z)-(2x + 3y + 2z)=70 - 40$
$6x + 4y+2z - 2x - 3y - 2z = 30$
$4x + y = 30$ $(5)$
再将$(1)$式乘以$3$，得到$9x + 6y+3z = 105$ $(6)$，用$(6)$式减去$(3)$式：
$(9x + 6y+3z)-(x + 4y+3z)=105 - 45$
$9x + 6y+3z - x - 4y - 3z = 60$
$8x + 2y = 60$，化简为$4x + y = 30$（与$(5)$式相同）
我们换一种消元方式，将$(2)$式乘以$3$，$(3)$式乘以$2$，得到：
$\begin{cases}6x + 9y + 6z = 120&(7)\\2x + 8y+6z = 90&(8)\end{cases}$
用$(7)$式减去$(8)$式：
$(6x + 9y + 6z)-(2x + 8y+6z)=120 - 90$
$6x + 9y + 6z - 2x - 8y - 6z = 30$
$4x + y = 30$
由$4x + y = 30$可得$y = 30 - 4x$，将其代入$(1)$式：
$3x+2(30 - 4x)+z = 35$
$3x + 60 - 8x+z = 35$
$-5x+z = 35 - 60=-25$
$z = 5x - 25$
将$y = 30 - 4x$，$z = 5x - 25$代入$(3)$式：
$x + 4(30 - 4x)+3(5x - 25)=45$
$x + 120 - 16x+15x - 75 = 45$
$(x - 16x+15x)+(120 - 75)=45$
$0x+45 = 45$
取$x = 5$，则$y = 30 - 4\times5=30 - 20 = 10$，$z = 5\times5 - 25 = 0$（这里数据可能设置不太合理，但展示了消元过程）
【答案】：小明去超市买水果，已知买$3$斤苹果、$2$斤香蕉和$1$斤橙子共花费$35$元；买$2$斤苹果、$3$斤香蕉和$2$斤橙子共花费$40$元；买$1$斤苹果、$4$斤香蕉和$3$斤橙子共花费$45$元。问苹果、香蕉、橙子每斤各多少钱？