《2025年暑假活动实践与思考七年级合订本》

13. 已知$\sqrt {5}$的整数部分是 2，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：若$5+\sqrt {7}$的小数部分是 a，$5-\sqrt {7}$的小数部分是 b，则$2a+b=$$\sqrt{7}-1$.

答案： 13. $\sqrt{7}-1$

14. 定义：若无理数$\sqrt {T}$的被开方数（T 为正整数）满足$n^{2}\lt T＜(n+1)^{2}$（其中 n 为正整数），则称无理数$\sqrt {T}$的“共同体区间”为$(n,n+1)$.例如：因为$1^{2}＜3＜2^{2}$，所以$\sqrt {3}$的“共同体区间”为$(1,2)$.请回答下列问题：
（1）$\sqrt {26}$的“共同体区间”为$(5,6)$；
（2）若无理数$\sqrt {a}$的“共同体区间”为$(2,3)$，则$\sqrt {a+6}$的“共同体区间”为$(3,4)$；
（3）实数 x，y，m 满足关系式：$\sqrt {2x+3y-m}+\sqrt {3x+4y-2m}=\sqrt {x+y-2024}+\sqrt {2024-x-y}$，则 m 的算术平方根的“共同体区间”为$(44,45)$.

答案： 14.
(1)$(5,6)$
(2)$(3,4)$
(3)$(44,45)$

15. 求出符合下列条件的数：
（1）绝对值小于$\sqrt {15}$的所有整数之和；
（2）绝对值小于$\sqrt [3]{8}$的所有整数.

答案： 1. （1）
首先，确定$\sqrt{15}$的范围：
因为$9\lt15\lt16$，根据$y = \sqrt{x}$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$\sqrt{9}\lt\sqrt{15}\lt\sqrt{16}$，即$3\lt\sqrt{15}\lt4$。
绝对值小于$\sqrt{15}$的所有整数为$- 3,-2,-1,0,1,2,3$。
然后，计算这些整数的和：
根据有理数加法法则$a+( - a)=0$，$(-3)+3+( - 2)+2+( - 1)+1 + 0=0$。
2. （2）
先计算$\sqrt[3]{8}$的值：
因为$2^{3}=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$。
再找出绝对值小于$2$的所有整数：
绝对值小于$2$的所有整数为$-1,0,1$。
综上，（1）答案为$0$；（2）答案为$-1,0,1$。

16. 两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走，共轭即为按一定规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等.共轭实数的定义：把形如$a+b\sqrt {m}$和$a-b\sqrt {m}$（a，b 为有理数且$b≠0$，m 为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数.
在学习了第八章《实数》后，数学兴趣小组设计了如下问题：
（1）根据共轭实数的定义我们可以判定：$8+3\sqrt {2}$与$8-2\sqrt {3}$不是共轭实数，$8-2\sqrt {3}$与$8+2\sqrt {3}$是共轭实数，请分别说明理由；
（2）请你设计并写出一对共轭实数$1+\sqrt{2}$与$1-\sqrt{2}$；
（3）小明发现共轭实数$a+b\sqrt {m}$与$a-b\sqrt {m}$的运算结果（和、差、积、商等）都有一定的规律，请你求出（1）中那对共轭实数的和与差.

答案： 16.解：
(1)根据共轭实数的定义：把形如$a+b\sqrt{m}$和$a-b\sqrt{m}$($a$，$b$为有理数且$b\neq 0$，$m$为正整数且开方开不尽)的两个实数称为共轭实数，所以构成一对共轭实数的条件是有理数部分相等，无理数部分互为相反数.
$\because 8+3\sqrt{2}$与$8-2\sqrt{3}$的无理数部分$3\sqrt{2}$与$-2\sqrt{3}$并不构成相反数，
$\therefore 8+3\sqrt{2}$与$8-2\sqrt{3}$不是共轭实数.
$\because 8-2\sqrt{3}$与$8+2\sqrt{3}$的无理数部分$-2\sqrt{3}$与$2\sqrt{3}$构成相反数，
$\therefore 8-2\sqrt{3}$与$8+2\sqrt{3}$是共轭实数；
(2)$1+\sqrt{2}$ $1-\sqrt{2}$(答案不唯一)
(3)该对共轭实数的和为：$8-2\sqrt{3}+8+2\sqrt{3}=16$；
该对共轭实数的差为：$(8-2\sqrt{3})-(8+2\sqrt{3})=-4\sqrt{3}$.