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10. 将一个含45°角的三角板ABC如图3-36所示摆放在平面直角坐标系中,将其绕点C顺时针旋转75°,点B的对应点B'恰好落在x轴上,若点C的坐标为(1,0),则点B'的坐标为____.
答案：
$(3,0)$
11. 如图3-37,△ABC是等边三角形,将△ABC沿直线BC向右平移,使B点与C点重合,得到△DCE,连接BD,交AC于F.猜想AC与BD的位置关系,并证明你的结论.
答案：
【解析】：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，沿直线$BC$向右平移得到$\triangle DCE$，所以$AB = BC = CD = CE$，$\angle ABC=\angle DCE = 60^{\circ}$。
那么$\angle BCD = 180^{\circ}-\angle DCE=120^{\circ}$，又因为$BC = CD$，所以$\angle CBD=\angle CDB = 30^{\circ}$。
而$\angle ACB = 60^{\circ}$，在$\triangle BFC$中，$\angle BFC=180^{\circ}-\angle CBD - \angle ACB=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$。
【答案】：
$AC\perp BD$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，沿直线$BC$向右平移得到$\triangle DCE$，所以$AB = BC = CD = CE$，$\angle ABC=\angle DCE = 60^{\circ}$。
那么$\angle BCD = 180^{\circ}-\angle DCE=120^{\circ}$，又因为$BC = CD$，所以$\angle CBD=\angle CDB = 30^{\circ}$。
而$\angle ACB = 60^{\circ}$，在$\triangle BFC$中，$\angle BFC=180^{\circ}-\angle CBD - \angle ACB=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$。
【答案】：
$AC\perp BD$。
12. 如图3-38,在边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,其中点A(5,4),B(1,3),将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A₁OB₁.
(1) 画出△A₁OB₁;
(2) 在旋转过程中点B所经过的路径长为____;
(3) 求在旋转过程中线段AB,BO扫过的图形的面积之和.
(1) 画出△A₁OB₁;
(2) 在旋转过程中点B所经过的路径长为____;
(3) 求在旋转过程中线段AB,BO扫过的图形的面积之和.
答案：
【解析】：
### $(1)$ 画出$\triangle A_{1}OB_{1}$
根据旋转的性质，点$(x,y)$绕原点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$后得到的点坐标为$(-y,x)$。
已知$A(5,4)$，$B(1,3)$，则$A$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$后$A_{1}$的坐标为$( - 4,5)$，$B$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$后$B_{1}$的坐标为$( - 3,1)$。
连接$OA_{1}$，$OB_{1}$，$A_{1}B_{1}$，得到$\triangle A_{1}OB_{1}$。
### $(2)$ 求点$B$所经过的路径长
点$B$所经过的路径是以$O$为圆心，$OB$为半径的一段弧。
先求$OB$的长度，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$O(0,0)$，$B(1,3)$，则$OB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$。
因为旋转角为$90^{\circ}$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角，$r$是半径），这里$n = 90^{\circ}$，$r = OB=\sqrt{10}$，所以点$B$所经过的路径长$l=\frac{90\pi\times\sqrt{10}}{180}=\frac{\sqrt{10}\pi}{2}$。
### $(3)$ 求线段$AB$，$BO$扫过的图形的面积之和
线段$AB$，$BO$扫过的图形的面积之和等于扇形$AOA_{1}$的面积减去扇形$BOB_{1}$的面积。
由$A(5,4)$，根据两点间距离公式可得$OA=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{25 + 16}=\sqrt{41}$，$OB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$是圆心角，$r$是半径），这里$n = 90^{\circ}$。
扇形$AOA_{1}$的面积$S_{1}=\frac{90\pi\times(\sqrt{41})^{2}}{360}=\frac{41\pi}{4}$，扇形$BOB_{1}$的面积$S_{2}=\frac{90\pi\times(\sqrt{10})^{2}}{360}=\frac{10\pi}{4}$。
则线段$AB$，$BO$扫过的图形的面积之和$S = S_{1}-S_{2}=\frac{41\pi}{4}-\frac{10\pi}{4}=\frac{31\pi}{4}$。
【答案】：
$(1)$ 略（按上述坐标画出图形）；
$(2)$ $\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}\pi}{2}}$；
$(3)$ $\boldsymbol{\frac{31\pi}{4}}$。
### $(1)$ 画出$\triangle A_{1}OB_{1}$
根据旋转的性质，点$(x,y)$绕原点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$后得到的点坐标为$(-y,x)$。
已知$A(5,4)$，$B(1,3)$，则$A$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$后$A_{1}$的坐标为$( - 4,5)$，$B$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$后$B_{1}$的坐标为$( - 3,1)$。
连接$OA_{1}$，$OB_{1}$，$A_{1}B_{1}$，得到$\triangle A_{1}OB_{1}$。
### $(2)$ 求点$B$所经过的路径长
点$B$所经过的路径是以$O$为圆心，$OB$为半径的一段弧。
先求$OB$的长度，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$O(0,0)$，$B(1,3)$，则$OB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$。
因为旋转角为$90^{\circ}$，根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$n$是圆心角，$r$是半径），这里$n = 90^{\circ}$，$r = OB=\sqrt{10}$，所以点$B$所经过的路径长$l=\frac{90\pi\times\sqrt{10}}{180}=\frac{\sqrt{10}\pi}{2}$。
### $(3)$ 求线段$AB$，$BO$扫过的图形的面积之和
线段$AB$，$BO$扫过的图形的面积之和等于扇形$AOA_{1}$的面积减去扇形$BOB_{1}$的面积。
由$A(5,4)$，根据两点间距离公式可得$OA=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{25 + 16}=\sqrt{41}$，$OB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$是圆心角，$r$是半径），这里$n = 90^{\circ}$。
扇形$AOA_{1}$的面积$S_{1}=\frac{90\pi\times(\sqrt{41})^{2}}{360}=\frac{41\pi}{4}$，扇形$BOB_{1}$的面积$S_{2}=\frac{90\pi\times(\sqrt{10})^{2}}{360}=\frac{10\pi}{4}$。
则线段$AB$，$BO$扫过的图形的面积之和$S = S_{1}-S_{2}=\frac{41\pi}{4}-\frac{10\pi}{4}=\frac{31\pi}{4}$。
【答案】：
$(1)$ 略（按上述坐标画出图形）；
$(2)$ $\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}\pi}{2}}$；
$(3)$ $\boldsymbol{\frac{31\pi}{4}}$。
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