《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学北师大版》

一块钱哪里去了?
一个唱片商店里,卖30张老式硬唱片,2张卖一块钱;另外30张唱片是3张卖一块钱. 那天,这60张唱片全卖完了. 30张一块钱2张的唱片收入15元,30张一块钱3张的唱片收入10元,总共是25元.
第二天,商店老板又拿出60张唱片放到柜台上. 老板心想:何必要自找麻烦来分唱片? 如果30张唱片是一块钱卖2张,30张是一块钱卖3张,何不把60张唱片放在一起,按两块钱5张来卖? 这是一样的.
商店关门时,60张唱片全按两块钱5张卖出去了. 可是,商店老板点钱时发现只卖得24元,不是25元,这使他很吃惊.
你认为这一块钱到哪里去了?
要解决这个问题,需要同时利用等式与不等式的性质.
假设一种唱片卖b元钱a张,另一种唱片卖d元钱c张. 如果需要求出它们每张的平均价格w,可以列等式$w = \frac{\frac{b}{a} + \frac{d}{c}}{2}$,假设题干中的平均价格为n,可以列等式$n = \frac{b + d}{a + c}$,只讨论题干中$b = d = 1$的情况(实际上,在a,c不要求为正整数的情况下,总是可以化作$b = d = 1$的情况),然后比较w与n的大小关系. 当$a = c$时,$w = n$;当$a ＞ c$时,$w ＞ n$;当$a ＜ c$时,$w ＞ n$. 这个例子告诉我们,当看到不同种类的货物联合销售时,要判断我们是否真的买到了便宜货并不是一件轻而易举的事.

答案： 【解析】：
首先，按照原来的销售方式：
对于$30$张老式硬唱片，$2$张卖$1$块钱，那么每张的价格是$\frac{1}{2}$元，$30$张的收入是$30\times\frac{1}{2}=15$元。
另外$30$张唱片是$3$张卖$1$块钱，那么每张的价格是$\frac{1}{3}$元，$30$张的收入是$30\times\frac{1}{3}=10$元。
所以总共收入$15 + 10=25$元。
然后，按照新的销售方式，$60$张唱片按两块钱$5$张来卖，那么每张的价格是$\frac{2}{5}$元，$60$张的收入是$60\times\frac{2}{5}=24$元。
接下来，根据所给公式，设一种唱片卖$b = 1$元钱$a = 2$张，另一种唱片卖$d = 1$元钱$c = 3$张。
原来每张的平均价格$w=\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{2}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{2}=\frac{\frac{3 + 2}{6}}{2}=\frac{\frac{5}{6}}{2}=\frac{5}{12}$元。
新的平均价格$n=\frac{b + d}{a + c}=\frac{1+1}{2 + 3}=\frac{2}{5}$元。
比较$w$与$n$的大小：
$w - n=\frac{5}{12}-\frac{2}{5}=\frac{25-24}{60}=\frac{1}{60}\gt0$，即$w\gt n$。这说明原来的平均价格比新的平均价格高，所以新的销售方式总收入减少了。
实际上，在新的销售方式中，把两种不同价格的唱片混合销售，相当于把价格高的（$\frac{1}{2}$元每张）唱片降价销售了，导致总收入减少了$25-24 = 1$元，这就是那“消失”的$1$元的原因。
【答案】：新的销售方式把两种不同价格的唱片混合销售，使得价格高的唱片降价销售，导致总收入减少了$1$元，这$1$元就是这样“消失”的。