《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学北师大版》

12. 已知$a^{2}+2ab+b^{2}=0$，求代数式$a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)$的值.

答案： 【解析】：
本题可先对$a(a + 4b) - (a + 2b)(a - 2b)$进行化简，再根据已知条件$a^{2}+2ab+b^{2}=0$求出化简后式子的值。
- **步骤一：化简$a(a + 4b) - (a + 2b)(a - 2b)$**
利用单项式乘多项式的运算法则计算$a(a + 4b)$：
根据单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，可得$a(a + 4b)=a^2 + 4ab$。
利用平方差公式计算$(a + 2b)(a - 2b)$：
平方差公式为$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，在$(a + 2b)(a - 2b)$中，$m = a$，$n = 2b$，则$(a + 2b)(a - 2b)=a^2 - (2b)^2=a^2 - 4b^2$。
计算$a(a + 4b) - (a + 2b)(a - 2b)$：
将上述结果代入原式可得：
$a(a + 4b) - (a + 2b)(a - 2b)=a^2 + 4ab - (a^2 - 4b^2)$
去括号得：$a^2 + 4ab - a^2 + 4b^2$
合并同类项得：$4ab + 4b^2$。
- **步骤二：根据已知条件求出化简后式子的值**
已知$a^{2}+2ab+b^{2}=0$，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，可得$(a + b)^2 = 0$，则$a + b = 0$，即$a = -b$。
将$a = -b$代入$4ab + 4b^2$可得：
$4\times(-b)\times b + 4b^2=-4b^2 + 4b^2 = 0$。
【答案】：$0$

13. 已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$三边的长，且满足$a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2b(a+c)=0$，试判断此三角形的形状.

答案： 【解析】：
本题可先对已知等式进行变形，再根据完全平方公式和非负数的性质来判断三角形的形状。
- **步骤一：对$a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2b(a+c)=0$进行变形。**
将$2b^{2}$拆分为$b^{2}+b^{2}$，则原式可化为$a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab - 2bc = 0$。
- **步骤二：根据完全平方公式对变形后的式子进行因式分解。**
完全平方公式为$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，据此对$a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab - 2bc = 0$进行因式分解：
$a^{2}-2ab + b^{2}+b^{2}-2bc + c^{2}=0$，即$(a - b)^{2}+(b - c)^{2}=0$。
- **步骤三：根据非负数的性质求出$a$、$b$、$c$的关系。**
因为一个数的平方为非负数，所以$(a - b)^{2}\geq0$，$(b - c)^{2}\geq0$。
又因为$(a - b)^{2}+(b - c)^{2}=0$，要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数必须都为$0$，即$\begin{cases}a - b = 0\\b - c = 0\end{cases}$。
解方程组$\begin{cases}a - b = 0\\b - c = 0\end{cases}$可得$\begin{cases}a = b\\b = c\end{cases}$，所以$a = b = c$。
- **步骤四：根据三角形的分类判断$\triangle ABC$的形状。**
因为$a = b = c$，即$\triangle ABC$的三条边都相等，根据等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，可知$\triangle ABC$是等边三角形。
【答案】：等边三角形

1. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（）
A. $a^{2}+4a-21=a(a+4)-21$
B. $a^{2}+4a-21=(a-3)(a+7)$
C. $(a-3)(a+7)=a^{2}+4a-21$
D. $a^{2}+4a-21=(a+2)^{2}-25$

答案： B