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5. 已知关于x的不等式组$\begin{cases}x - a ≥ b, \\2x - a ＜ 2b + 1\end{cases}$的解集为$3 ≤ x ＜ 5$,则$\frac{b}{a}$的值为( )
A. -2
B. $-\frac{1}{2}$
C. -4
D. $-\frac{1}{4}$
A. -2
B. $-\frac{1}{2}$
C. -4
D. $-\frac{1}{4}$
答案：
A
6. 不等式组$\begin{cases}x ＞ -4, \\-x ≤ 3\end{cases}$的负整数解为____.
答案：
$-3$，$-2$，$-1$
7. 当直线$y = (2 - 2k)x + k - 3$经过第二、三、四象限时,k的取值范围是____.
答案：
$1\lt k\lt3$
8. 已知$\begin{cases}4x + 3m = 2, \\8x - 3y = m\end{cases}$的解x,y满足$x ＞ y$,则m的取值范围是____.
答案：
$m\gt\frac{10}{19}$
9. 已知关于x的不等式$3x - m + 1 ＞ 0$的最小整数解为2,则实数m的取值范围是____.
答案：
$4\leqslant m＜7$
10. 某种商品的进价为320元,为了吸引顾客,按标价的8折出售,这时仍可盈利至少25%,则这种商品的标价最少是____元.
答案：
$500$
11. 解不等式组:$\begin{cases}2x - 6 ＜ 3x, \\\frac{x + 2}{5} - \frac{x - 1}{4} ≥ 0.\end{cases}$
答案：
【解析】：
本题可分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取它们的交集，即可得到不等式组的解集。
- **步骤一：求解不等式$2x - 6 \lt 3x$。**
为了求解$x$的取值范围，可通过移项将含有$x$的项移到一边，常数项移到另一边，再进行计算。
对不等式$2x - 6 \lt 3x$移项可得：$2x - 3x \lt 6$，
合并同类项得：$-x \lt 6$，
不等式两边同时除以$-1$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可得：$x \gt - 6$。
- **步骤二：求解不等式$\frac{x + 2}{5} - \frac{x - 1}{4} \geq 0$。**
为了去掉分母，可给不等式两边同时乘以分母的最小公倍数$20$，再进行求解。
给不等式$\frac{x + 2}{5} - \frac{x - 1}{4} \geq 0$两边同时乘以$20$得：$20\times\frac{x + 2}{5} - 20\times\frac{x - 1}{4} \geq 0\times20$，
即$4(x + 2) - 5(x - 1) \geq 0$，
去括号得：$4x + 8 - 5x + 5 \geq 0$，
合并同类项得：$-x + 13 \geq 0$，
移项可得：$-x \geq - 13$，
不等式两边同时除以$-1$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可得：$x \leq 13$。
- **步骤三：求不等式组的解集。**
由步骤一可知不等式$2x - 6 \lt 3x$的解集为$x \gt - 6$，由步骤二可知不等式$\frac{x + 2}{5} - \frac{x - 1}{4} \geq 0$的解集为$x \leq 13$。
根据“大小小大中间找”的原则，取两个解集的交集，可得不等式组的解集为$- 6 \lt x \leq 13$。
【答案】：$- 6 \lt x \leq 13$
本题可分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取它们的交集，即可得到不等式组的解集。
- **步骤一：求解不等式$2x - 6 \lt 3x$。**
为了求解$x$的取值范围，可通过移项将含有$x$的项移到一边，常数项移到另一边，再进行计算。
对不等式$2x - 6 \lt 3x$移项可得：$2x - 3x \lt 6$，
合并同类项得：$-x \lt 6$，
不等式两边同时除以$-1$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可得：$x \gt - 6$。
- **步骤二：求解不等式$\frac{x + 2}{5} - \frac{x - 1}{4} \geq 0$。**
为了去掉分母，可给不等式两边同时乘以分母的最小公倍数$20$，再进行求解。
给不等式$\frac{x + 2}{5} - \frac{x - 1}{4} \geq 0$两边同时乘以$20$得：$20\times\frac{x + 2}{5} - 20\times\frac{x - 1}{4} \geq 0\times20$，
即$4(x + 2) - 5(x - 1) \geq 0$，
去括号得：$4x + 8 - 5x + 5 \geq 0$，
合并同类项得：$-x + 13 \geq 0$，
移项可得：$-x \geq - 13$，
不等式两边同时除以$-1$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可得：$x \leq 13$。
- **步骤三：求不等式组的解集。**
由步骤一可知不等式$2x - 6 \lt 3x$的解集为$x \gt - 6$，由步骤二可知不等式$\frac{x + 2}{5} - \frac{x - 1}{4} \geq 0$的解集为$x \leq 13$。
根据“大小小大中间找”的原则，取两个解集的交集，可得不等式组的解集为$- 6 \lt x \leq 13$。
【答案】：$- 6 \lt x \leq 13$
12. 某校开展校园艺术节系列活动,派小明到某超市购买若干个文具袋作为奖品. 已知这种文具袋标价每个10元. 请认真阅读结账时老板与小明的对话(如图2 - 8):
(1)结合两人的对话内容,求小明原计划购买文具袋多少个.
(2)学校决定再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品,两次购买奖品总支出不超过400元. 其中钢笔标价每支8元,签字笔标价每支6元,经过沟通,这次老板给予八折优惠,那么小明最多可购买钢笔多少支?
(1)结合两人的对话内容,求小明原计划购买文具袋多少个.
(2)学校决定再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品,两次购买奖品总支出不超过400元. 其中钢笔标价每支8元,签字笔标价每支6元,经过沟通,这次老板给予八折优惠,那么小明最多可购买钢笔多少支?
答案：
【解析】：
### $(1)$求小明原计划购买文具袋的个数
设小明原计划购买文具袋$x$个，那么实际购买了$(x + 1)$个。
已知文具袋标价每个$10$元，根据老板所说“再多买一个，就可以打八五折，花费比现在还省$17$元”，可列方程：
$10x-10(x + 1)\times0.85=17$
去括号得：$10x-(8.5x + 8.5)=17$
即$10x-8.5x-8.5 = 17$
移项得：$10x-8.5x=17 + 8.5$
合并同类项得：$1.5x=25.5$
解得：$x = 17$
### $(2)$求小明最多可购买钢笔的支数
设小明可购买钢笔$y$支，则购买签字笔$(50 - y)$支。
计算第一次购买文具袋的实际花费：
已知实际购买文具袋$17 + 1=18$个，每个$10$元，打八五折，所以第一次花费$10\times18\times0.85 = 153$元。
计算第二次购买钢笔和签字笔的花费：
钢笔标价每支$8$元，签字笔标价每支$6$元，老板给予八折优惠，那么第二次花费$[8y + 6(50 - y)]\times0.8$元。
根据两次购买奖品总支出不超过$400$元列不等式：
$153+[8y + 6(50 - y)]\times0.8\leqslant400$
先化简不等式左边：
$\begin{aligned}153+(8y + 300 - 6y)\times0.8&=153+(2y + 300)\times0.8\\&=153 + 1.6y+240\\&=1.6y + 393\end{aligned}$
则不等式变为$1.6y + 393\leqslant400$
移项得：$1.6y\leqslant400 - 393$
即$1.6y\leqslant7$
解得：$y\leqslant4.375$
因为$y$为整数，所以$y$的最大值为$4$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{17}$个；$(2)$$\boldsymbol{4}$支
### $(1)$求小明原计划购买文具袋的个数
设小明原计划购买文具袋$x$个，那么实际购买了$(x + 1)$个。
已知文具袋标价每个$10$元，根据老板所说“再多买一个，就可以打八五折，花费比现在还省$17$元”，可列方程：
$10x-10(x + 1)\times0.85=17$
去括号得：$10x-(8.5x + 8.5)=17$
即$10x-8.5x-8.5 = 17$
移项得：$10x-8.5x=17 + 8.5$
合并同类项得：$1.5x=25.5$
解得：$x = 17$
### $(2)$求小明最多可购买钢笔的支数
设小明可购买钢笔$y$支，则购买签字笔$(50 - y)$支。
计算第一次购买文具袋的实际花费：
已知实际购买文具袋$17 + 1=18$个，每个$10$元，打八五折，所以第一次花费$10\times18\times0.85 = 153$元。
计算第二次购买钢笔和签字笔的花费：
钢笔标价每支$8$元，签字笔标价每支$6$元，老板给予八折优惠，那么第二次花费$[8y + 6(50 - y)]\times0.8$元。
根据两次购买奖品总支出不超过$400$元列不等式：
$153+[8y + 6(50 - y)]\times0.8\leqslant400$
先化简不等式左边：
$\begin{aligned}153+(8y + 300 - 6y)\times0.8&=153+(2y + 300)\times0.8\\&=153 + 1.6y+240\\&=1.6y + 393\end{aligned}$
则不等式变为$1.6y + 393\leqslant400$
移项得：$1.6y\leqslant400 - 393$
即$1.6y\leqslant7$
解得：$y\leqslant4.375$
因为$y$为整数，所以$y$的最大值为$4$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{17}$个；$(2)$$\boldsymbol{4}$支
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