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5. 如图3-12所示的是由5个相同正方形组成的图形,你能否画一条直线将这个图形分成面积相等的两部分?请至少找出两种不同的画法.
答案：
1. 首先，设每个小正方形的边长为$a$，则每个小正方形的面积$S = a^{2}$，整个图形的面积$S_{总}=5a^{2}$，要使直线将图形分成面积相等的两部分，则每部分面积$S_{分}=\frac{5}{2}a^{2}$。
2. 第一种画法：
连接最左边一列小正方形的左上角顶点与最右边一列小正方形的右下角顶点。
设最左边一列小正方形左上角顶点为$A$，最右边一列小正方形右下角顶点为$B$。
我们可以通过割补法来验证面积。将图形看作是由几个规则图形组成，这条直线把图形分成的两部分，通过平移、拼接等方式（利用全等三角形或全等梯形的面积相等原理），可以发现每部分的面积都为$\frac{5}{2}a^{2}$。
3. 第二种画法：
连接从下往上第一行最左边小正方形的右上角顶点与从下往上第三行最右边小正方形的左下角顶点。
设从下往上第一行最左边小正方形右上角顶点为$C$，从下往上第三行最右边小正方形左下角顶点为$D$。
同样利用割补法，把直线分成的两部分进行平移、拼接（根据正方形的性质，通过计算三角形和梯形的面积，$S_{三角形}=\frac{1}{2}\times底\times高$，$S_{梯形}=\frac{(上底 + 下底)\times高}{2}$），可以得到每部分面积为$\frac{5}{2}a^{2}$。
所以可以画出直线将图形分成面积相等的两部分，画法如上述两种（答案不唯一）。
2. 第一种画法：
连接最左边一列小正方形的左上角顶点与最右边一列小正方形的右下角顶点。
设最左边一列小正方形左上角顶点为$A$，最右边一列小正方形右下角顶点为$B$。
我们可以通过割补法来验证面积。将图形看作是由几个规则图形组成，这条直线把图形分成的两部分，通过平移、拼接等方式（利用全等三角形或全等梯形的面积相等原理），可以发现每部分的面积都为$\frac{5}{2}a^{2}$。
3. 第二种画法：
连接从下往上第一行最左边小正方形的右上角顶点与从下往上第三行最右边小正方形的左下角顶点。
设从下往上第一行最左边小正方形右上角顶点为$C$，从下往上第三行最右边小正方形左下角顶点为$D$。
同样利用割补法，把直线分成的两部分进行平移、拼接（根据正方形的性质，通过计算三角形和梯形的面积，$S_{三角形}=\frac{1}{2}\times底\times高$，$S_{梯形}=\frac{(上底 + 下底)\times高}{2}$），可以得到每部分面积为$\frac{5}{2}a^{2}$。
所以可以画出直线将图形分成面积相等的两部分，画法如上述两种（答案不唯一）。
1. 某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的,现要在园地上建一个花坛(阴影部分),使花坛面积是正方形园地面积的一半,图3-13中设计不合要求的是 ( )
答案：
1. 首先计算正方形园地面积：
已知小正方形边长为$1$，一个小正方形面积$S_1 = 1\times1 = 1$，正方形园地由$4$个小正方形组成，则正方形园地面积$S = 4\times1 = 4$。
因为花坛面积是正方形园地面积的一半，所以花坛面积$S_{花坛}=2$。
2. 然后分别计算各选项花坛面积：
选项A**：
把花坛看作两个三角形，三角形的底$b = 2$，高$h = 1$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}bh$。
花坛面积$S_A=\frac{1}{2}\times2\times1+\frac{1}{2}\times2\times1$。
先计算$\frac{1}{2}\times2\times1 = 1$，则$S_A = 1 + 1=2$。
选项B**：
用割补法，把阴影部分通过平移等方法转化，可发现阴影部分面积$S_B = 1 + 1.5=2.5\neq2$。
选项C**：
把花坛看作$4$个全等的三角形，每个三角形的底$b = 1$，高$h = 1$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}bh$。
花坛面积$S_C = 4\times\frac{1}{2}\times1\times1$。
因为$4\times\frac{1}{2}\times1\times1 = 2$。
选项D**：
用割补法，把上面的半圆补到下面空白的半圆处，阴影部分面积$S_D = 2\times1 = 2$。
所以设计不合要求的是$B$。
已知小正方形边长为$1$，一个小正方形面积$S_1 = 1\times1 = 1$，正方形园地由$4$个小正方形组成，则正方形园地面积$S = 4\times1 = 4$。
因为花坛面积是正方形园地面积的一半，所以花坛面积$S_{花坛}=2$。
2. 然后分别计算各选项花坛面积：
选项A**：
把花坛看作两个三角形，三角形的底$b = 2$，高$h = 1$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}bh$。
花坛面积$S_A=\frac{1}{2}\times2\times1+\frac{1}{2}\times2\times1$。
先计算$\frac{1}{2}\times2\times1 = 1$，则$S_A = 1 + 1=2$。
选项B**：
用割补法，把阴影部分通过平移等方法转化，可发现阴影部分面积$S_B = 1 + 1.5=2.5\neq2$。
选项C**：
把花坛看作$4$个全等的三角形，每个三角形的底$b = 1$，高$h = 1$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}bh$。
花坛面积$S_C = 4\times\frac{1}{2}\times1\times1$。
因为$4\times\frac{1}{2}\times1\times1 = 2$。
选项D**：
用割补法，把上面的半圆补到下面空白的半圆处，阴影部分面积$S_D = 2\times1 = 2$。
所以设计不合要求的是$B$。
2. 图3-14为某公司的标志图案,外层可视为利用图形的____设计,内层可视为利用图形的____设计,既形象又美观.
答案：
旋转；轴对称
3. 如图3-15,在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形,涂黑的小正方形的序号是____.
答案：
答案：②
4. 已知每个网格中小正方形的边长都是1,如图3-16中的阴影图案是由三段以格点为圆心,半径分别为1和2的圆弧围成的,则阴影部分的面积是____.
答案：
$\frac{3\pi}{4}-2$
5. 如图3-17,在平面直角坐标系中,有一直角△ABC,且A(0,5),B(-5,2),C(0,2),且已知△AA₁C₁是由△ABC旋转变换得到的.
(1) 由△ABC旋转得到的△AA₁C₁的旋转角的度数是多少? 请写出旋转中心的坐标.
(2) 请你画出仍以(1)中的旋转中心为旋转中心,将△AA₁C₁,△ABC分别按顺时针、逆时针各旋转90°的两个三角形,并写出变换后与A₁对应点A₂的坐标.
(3) 利用变换前后所形成图案证明勾股定理(设△ABC两直角边为a,b,斜边为c).
(1) 由△ABC旋转得到的△AA₁C₁的旋转角的度数是多少? 请写出旋转中心的坐标.
(2) 请你画出仍以(1)中的旋转中心为旋转中心,将△AA₁C₁,△ABC分别按顺时针、逆时针各旋转90°的两个三角形,并写出变换后与A₁对应点A₂的坐标.
(3) 利用变换前后所形成图案证明勾股定理(设△ABC两直角边为a,b,斜边为c).
答案：
【解析】：
### $(1)$ 求旋转角的度数和旋转中心的坐标
观察图形，$\because AC = 5 - 2=3$，$AC_{1}=3$，$\angle ACA_{1}=90^{\circ}$，$\triangle ABC$旋转得到$\triangle AA_{1}C_{1}$，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
点$C$与$C_{1}$是对应点，点$A$与$A$是对应点（即自身），所以旋转中心是点$A$，坐标为$(0,5)$，旋转角$\angle CAC_{1}=90^{\circ}$。
### $(2)$ 画旋转后的三角形并求$A_{2}$的坐标
以$A(0,5)$为旋转中心，将$\triangle AA_{1}C_{1}$顺时针旋转$90^{\circ}$，将$\triangle ABC$逆时针旋转$90^{\circ}$（画图略，可根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角来画）。
已知$A_{1}(3,0)$，设$A_{2}(x,y)$，$AA_{1}=\sqrt{(3 - 0)^{2}+(0 - 5)^{2}}=\sqrt{9 + 25}=\sqrt{34}$，根据旋转性质$AA_{2}=AA_{1}=\sqrt{34}$，且$\angle A_{1}AA_{2}=90^{\circ}$。
因为$A(0,5)$，$A_{1}(3,0)$，将$\triangle AA_{1}C_{1}$顺时针旋转$90^{\circ}$，根据旋转坐标变化规律（绕点$(a,b)$顺时针旋转$90^{\circ}$，点$(x,y)$变为$(a+(y - b),b-(x - a))$），这里$a = 0$，$b = 5$，$x = 3$，$y = 0$，则$x_{A_{2}}=0+(0 - 5)=- 5$，$y_{A_{2}}=5-(3 - 0)=2$，所以$A_{2}(-5,2)$。
### $(3)$ 利用图案证明勾股定理
由变换前后所形成的图案是一个正方形，其边长为$a + b$，面积$S=(a + b)^{2}$。
同时这个正方形的面积还可以表示为$S = 4\times\frac{1}{2}ab + c^{2}$。
因为$(a + b)^{2}=4\times\frac{1}{2}ab + c^{2}$，展开$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，$4\times\frac{1}{2}ab + c^{2}=2ab + c^{2}$。
所以$a^{2}+2ab + b^{2}=2ab + c^{2}$，化简可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即证明了勾股定理。
【答案】：
$(1)$ 旋转角的度数是$\boldsymbol{90^{\circ}}$，旋转中心坐标为$\boldsymbol{(0,5)}$；
$(2)$ $A_{2}$的坐标为$\boldsymbol{(-5,2)}$；
$(3)$ 证明过程如上述解析，证得$\boldsymbol{a^{2}+b^{2}=c^{2}}$。
### $(1)$ 求旋转角的度数和旋转中心的坐标
观察图形，$\because AC = 5 - 2=3$，$AC_{1}=3$，$\angle ACA_{1}=90^{\circ}$，$\triangle ABC$旋转得到$\triangle AA_{1}C_{1}$，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
点$C$与$C_{1}$是对应点，点$A$与$A$是对应点（即自身），所以旋转中心是点$A$，坐标为$(0,5)$，旋转角$\angle CAC_{1}=90^{\circ}$。
### $(2)$ 画旋转后的三角形并求$A_{2}$的坐标
以$A(0,5)$为旋转中心，将$\triangle AA_{1}C_{1}$顺时针旋转$90^{\circ}$，将$\triangle ABC$逆时针旋转$90^{\circ}$（画图略，可根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角来画）。
已知$A_{1}(3,0)$，设$A_{2}(x,y)$，$AA_{1}=\sqrt{(3 - 0)^{2}+(0 - 5)^{2}}=\sqrt{9 + 25}=\sqrt{34}$，根据旋转性质$AA_{2}=AA_{1}=\sqrt{34}$，且$\angle A_{1}AA_{2}=90^{\circ}$。
因为$A(0,5)$，$A_{1}(3,0)$，将$\triangle AA_{1}C_{1}$顺时针旋转$90^{\circ}$，根据旋转坐标变化规律（绕点$(a,b)$顺时针旋转$90^{\circ}$，点$(x,y)$变为$(a+(y - b),b-(x - a))$），这里$a = 0$，$b = 5$，$x = 3$，$y = 0$，则$x_{A_{2}}=0+(0 - 5)=- 5$，$y_{A_{2}}=5-(3 - 0)=2$，所以$A_{2}(-5,2)$。
### $(3)$ 利用图案证明勾股定理
由变换前后所形成的图案是一个正方形，其边长为$a + b$，面积$S=(a + b)^{2}$。
同时这个正方形的面积还可以表示为$S = 4\times\frac{1}{2}ab + c^{2}$。
因为$(a + b)^{2}=4\times\frac{1}{2}ab + c^{2}$，展开$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，$4\times\frac{1}{2}ab + c^{2}=2ab + c^{2}$。
所以$a^{2}+2ab + b^{2}=2ab + c^{2}$，化简可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，即证明了勾股定理。
【答案】：
$(1)$ 旋转角的度数是$\boldsymbol{90^{\circ}}$，旋转中心坐标为$\boldsymbol{(0,5)}$；
$(2)$ $A_{2}$的坐标为$\boldsymbol{(-5,2)}$；
$(3)$ 证明过程如上述解析，证得$\boldsymbol{a^{2}+b^{2}=c^{2}}$。
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