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6. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{7}{x - 1} + 3 = \frac{m}{x - 1}$ 无解，则 $ m $ 的值为 $\_\_\_\_\_\_$。
答案：
$7$
7. 如果 $ m + n = 1 $，那么代数式 $(\frac{2m + n}{m^{2} - mn} + \frac{1}{m}) \cdot (m^{2} - n^{2})$ 的值为 $\_\_\_\_\_\_$。
答案：
【解析】：
本题可先对代数式$(\frac{2m + n}{m^{2} - mn} + \frac{1}{m}) \cdot (m^{2} - n^{2})$进行化简，再将$m + n = 1$代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简$(\frac{2m + n}{m^{2} - mn} + \frac{1}{m})$。**
对$m^{2} - mn$提取公因式$m$可得$m^{2} - mn=m(m - n)$。
则$\frac{2m + n}{m^{2} - mn} + \frac{1}{m}=\frac{2m + n}{m(m - n)} + \frac{1}{m}$，为了进行加法运算，需要通分，两个分式的最简公分母为$m(m - n)$，则$\frac{1}{m}=\frac{m - n}{m(m - n)}$。
所以$\frac{2m + n}{m(m - n)} + \frac{1}{m}=\frac{2m + n}{m(m - n)} + \frac{m - n}{m(m - n)}=\frac{2m + n + m - n}{m(m - n)}=\frac{3m}{m(m - n)}=\frac{3}{m - n}$。
- **步骤二：化简$(\frac{2m + n}{m^{2} - mn} + \frac{1}{m}) \cdot (m^{2} - n^{2})$。**
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$m^{2} - n^{2}=(m + n)(m - n)$。
将$\frac{3}{m - n}$与$(m + n)(m - n)$相乘可得：$\frac{3}{m - n}\cdot(m + n)(m - n)=3(m + n)$。
- **步骤三：代入求值。**
已知$m + n = 1$，将其代入$3(m + n)$可得：$3\times1 = 3$。
【答案】：$3$
本题可先对代数式$(\frac{2m + n}{m^{2} - mn} + \frac{1}{m}) \cdot (m^{2} - n^{2})$进行化简，再将$m + n = 1$代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简$(\frac{2m + n}{m^{2} - mn} + \frac{1}{m})$。**
对$m^{2} - mn$提取公因式$m$可得$m^{2} - mn=m(m - n)$。
则$\frac{2m + n}{m^{2} - mn} + \frac{1}{m}=\frac{2m + n}{m(m - n)} + \frac{1}{m}$，为了进行加法运算，需要通分，两个分式的最简公分母为$m(m - n)$，则$\frac{1}{m}=\frac{m - n}{m(m - n)}$。
所以$\frac{2m + n}{m(m - n)} + \frac{1}{m}=\frac{2m + n}{m(m - n)} + \frac{m - n}{m(m - n)}=\frac{2m + n + m - n}{m(m - n)}=\frac{3m}{m(m - n)}=\frac{3}{m - n}$。
- **步骤二：化简$(\frac{2m + n}{m^{2} - mn} + \frac{1}{m}) \cdot (m^{2} - n^{2})$。**
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$m^{2} - n^{2}=(m + n)(m - n)$。
将$\frac{3}{m - n}$与$(m + n)(m - n)$相乘可得：$\frac{3}{m - n}\cdot(m + n)(m - n)=3(m + n)$。
- **步骤三：代入求值。**
已知$m + n = 1$，将其代入$3(m + n)$可得：$3\times1 = 3$。
【答案】：$3$
8. 已知 $ x + \frac{1}{x} = 6 $，则 $ x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值为 $\_\_\_\_\_\_$。
答案：
34
9. 世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G 幕站布设，“孔夫子家”自此有了 5G 网络。5G 网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 500 兆数据，5G 网络比 4G 网络快 45 秒，求这两种网络的峰值速率。设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 $ x $ 兆数据，依题意，可列方程为 $\_\_\_\_\_\_$。
答案：
【解析】：已知设 4G 网络的峰值速率为每秒传输$x$兆数据，因为 5G 网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，则 5G 网络的峰值速率为每秒传输$10x$兆数据。根据公式：时间 = 数据量÷速率，那么 4G 网络传输 500 兆数据需要的时间为$\frac{500}{x}$秒，5G 网络传输 500 兆数据需要的时间为$\frac{500}{10x}$秒。又已知在峰值速率下传输 500 兆数据，5G 网络比 4G 网络快 45 秒，也就是 4G 网络用的时间比 5G 网络用的时间多 45 秒，所以可列方程为$\frac{500}{x}-\frac{500}{10x}=45$。
【答案】：$\frac{500}{x}-\frac{500}{10x}=45$
【答案】：$\frac{500}{x}-\frac{500}{10x}=45$
10. 若数 $ a $ 使关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}\frac{x - 2}{2} \leq -\frac{1}{2}x + 2 \\ 7x + 4 ＞ -a\end{cases}$ 有且仅有四个整数解，且使关于 $ y $ 的分式方程 $\frac{a}{y - 2} + \frac{2}{2 - y} = 2$ 有非负数解，则所有满足条件的整数 $ a $ 的值之和是 $\_\_\_\_\_\_$。
答案：
【解析】：
本题可先求解不等式组，根据整数解的个数确定$a$的取值范围，再求解分式方程，结合分式方程的解的条件进一步确定$a$的取值范围，最后找出满足条件的整数$a$并求和。
### 步骤一：求解不等式组$\begin{cases}\frac{x - 2}{2} \leq -\frac{1}{2}x + 2 \\ 7x + 4 ＞ -a\end{cases}$
- **解不等式$\frac{x - 2}{2} \leq -\frac{1}{2}x + 2$：**
不等式两边同时乘以$2$去分母得：$x - 2 \leq -x + 4$，
移项可得：$x + x \leq 4 + 2$，
合并同类项得：$2x \leq 6$，
系数化为$1$得：$x \leq 3$。
- **解不等式$7x + 4 ＞ -a$：**
移项可得：$7x \gt -a - 4$，
系数化为$1$得：$x \gt -\frac{a + 4}{7}$。
所以不等式组的解集为$-\frac{a + 4}{7} \lt x \leq 3$。
### 步骤二：根据不等式组的整数解个数确定$a$的取值范围
因为不等式组有且仅有四个整数解，而小于等于$3$的连续四个整数为$3$，$2$，$1$，$0$，所以$-1\leq -\frac{a + 4}{7} \lt 0$。
- **解不等式$-\frac{a + 4}{7} \lt 0$：**
不等式两边同时乘以$7$得：$-(a + 4) \lt 0$，
去括号得：$-a - 4 \lt 0$，
移项得：$-a \lt 4$，
系数化为$1$得：$a \gt -4$。
- **解不等式$-1\leq -\frac{a + 4}{7}$：**
不等式两边同时乘以$7$得：$-7\leq -(a + 4)$，
去括号得：$-7\leq -a - 4$，
移项得：$-a \geq -7 + 4$，
合并同类项得：$-a \geq -3$，
系数化为$1$得：$a \leq 3$。
综上，$-4 \lt a \leq 3$。
### 步骤三：求解分式方程$\frac{a}{y - 2} + \frac{2}{2 - y} = 2$
方程$\frac{a}{y - 2} + \frac{2}{2 - y} = 2$中，$\frac{2}{2 - y}=-\frac{2}{y - 2}$，则原方程可化为$\frac{a}{y - 2} - \frac{2}{y - 2} = 2$。
方程两边同时乘以$y - 2$去分母得：$a - 2 = 2(y - 2)$，
去括号得：$a - 2 = 2y - 4$，
移项得：$2y = a - 2 + 4$，
合并同类项得：$2y = a + 2$，
系数化为$1$得：$y = \frac{a + 2}{2}$。
### 步骤四：根据分式方程的解的条件进一步确定$a$的取值范围
因为分式方程有非负数解，所以$y\geq0$且$y - 2\neq 0$，即$\frac{a + 2}{2} \geq 0$且$\frac{a + 2}{2} - 2\neq 0$。
- **解不等式$\frac{a + 2}{2} \geq 0$：**
不等式两边同时乘以$2$得：$a + 2 \geq 0$，
移项得：$a \geq -2$。
- **解不等式$\frac{a + 2}{2} - 2\neq 0$：**
不等式两边同时乘以$2$得：$a + 2 - 4\neq 0$，
移项得：$a \neq 4 - 2$，
即$a \neq 2$。
结合$-4 \lt a \leq 3$，可得$-2\leq a \leq 3$且$a\neq 2$，那么满足条件的整数$a$为$-2$，$-1$，$0$，$1$，$3$。
### 步骤五：计算满足条件的整数$a$的值之和
$-2 + (-1) + 0 + 1 + 3 = 1$。
【答案】：$1$
本题可先求解不等式组，根据整数解的个数确定$a$的取值范围，再求解分式方程，结合分式方程的解的条件进一步确定$a$的取值范围，最后找出满足条件的整数$a$并求和。
### 步骤一：求解不等式组$\begin{cases}\frac{x - 2}{2} \leq -\frac{1}{2}x + 2 \\ 7x + 4 ＞ -a\end{cases}$
- **解不等式$\frac{x - 2}{2} \leq -\frac{1}{2}x + 2$：**
不等式两边同时乘以$2$去分母得：$x - 2 \leq -x + 4$，
移项可得：$x + x \leq 4 + 2$，
合并同类项得：$2x \leq 6$，
系数化为$1$得：$x \leq 3$。
- **解不等式$7x + 4 ＞ -a$：**
移项可得：$7x \gt -a - 4$，
系数化为$1$得：$x \gt -\frac{a + 4}{7}$。
所以不等式组的解集为$-\frac{a + 4}{7} \lt x \leq 3$。
### 步骤二：根据不等式组的整数解个数确定$a$的取值范围
因为不等式组有且仅有四个整数解，而小于等于$3$的连续四个整数为$3$，$2$，$1$，$0$，所以$-1\leq -\frac{a + 4}{7} \lt 0$。
- **解不等式$-\frac{a + 4}{7} \lt 0$：**
不等式两边同时乘以$7$得：$-(a + 4) \lt 0$，
去括号得：$-a - 4 \lt 0$，
移项得：$-a \lt 4$，
系数化为$1$得：$a \gt -4$。
- **解不等式$-1\leq -\frac{a + 4}{7}$：**
不等式两边同时乘以$7$得：$-7\leq -(a + 4)$，
去括号得：$-7\leq -a - 4$，
移项得：$-a \geq -7 + 4$，
合并同类项得：$-a \geq -3$，
系数化为$1$得：$a \leq 3$。
综上，$-4 \lt a \leq 3$。
### 步骤三：求解分式方程$\frac{a}{y - 2} + \frac{2}{2 - y} = 2$
方程$\frac{a}{y - 2} + \frac{2}{2 - y} = 2$中，$\frac{2}{2 - y}=-\frac{2}{y - 2}$，则原方程可化为$\frac{a}{y - 2} - \frac{2}{y - 2} = 2$。
方程两边同时乘以$y - 2$去分母得：$a - 2 = 2(y - 2)$，
去括号得：$a - 2 = 2y - 4$，
移项得：$2y = a - 2 + 4$，
合并同类项得：$2y = a + 2$，
系数化为$1$得：$y = \frac{a + 2}{2}$。
### 步骤四：根据分式方程的解的条件进一步确定$a$的取值范围
因为分式方程有非负数解，所以$y\geq0$且$y - 2\neq 0$，即$\frac{a + 2}{2} \geq 0$且$\frac{a + 2}{2} - 2\neq 0$。
- **解不等式$\frac{a + 2}{2} \geq 0$：**
不等式两边同时乘以$2$得：$a + 2 \geq 0$，
移项得：$a \geq -2$。
- **解不等式$\frac{a + 2}{2} - 2\neq 0$：**
不等式两边同时乘以$2$得：$a + 2 - 4\neq 0$，
移项得：$a \neq 4 - 2$，
即$a \neq 2$。
结合$-4 \lt a \leq 3$，可得$-2\leq a \leq 3$且$a\neq 2$，那么满足条件的整数$a$为$-2$，$-1$，$0$，$1$，$3$。
### 步骤五：计算满足条件的整数$a$的值之和
$-2 + (-1) + 0 + 1 + 3 = 1$。
【答案】：$1$
11. 已知 $ P = \frac{2a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{1}{a + b}(a \neq \pm b)$。
（1）化简 $ P $；
（2）若点 $ (a, b) $ 在一次函数 $ y = x - \sqrt{2} $ 的图象上，求 $ P $ 的值。
（1）化简 $ P $；
（2）若点 $ (a, b) $ 在一次函数 $ y = x - \sqrt{2} $ 的图象上，求 $ P $ 的值。
答案：
【解析】：
（1）首先对$P$进行化简，先将$\frac{1}{a + b}$通分，$\frac{1}{a + b}=\frac{a - b}{(a + b)(a - b)}$（因为$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$）。
则$P=\frac{2a}{a^{2}-b^{2}}-\frac{1}{a + b}=\frac{2a}{(a + b)(a - b)}-\frac{a - b}{(a + b)(a - b)}$。
根据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$P=\frac{2a-(a - b)}{(a + b)(a - b)}=\frac{2a - a + b}{(a + b)(a - b)}=\frac{a + b}{(a + b)(a - b)}$。
因为$a\neq\pm b$，即$a + b\neq0$，分子分母同时约去$a + b$，得到$P=\frac{1}{a - b}$。
（2）因为点$(a,b)$在一次函数$y = x-\sqrt{2}$的图象上，根据一次函数图象上点的坐标特征：若点$(x,y)$在函数$y = kx + c$的图象上，则$y=kx + c$成立。
所以把$x = a$，$y = b$代入$y = x-\sqrt{2}$，可得$b=a-\sqrt{2}$，移项得到$a - b=\sqrt{2}$。
将$a - b=\sqrt{2}$代入$P=\frac{1}{a - b}$，可得$P=\frac{1}{\sqrt{2}}$，分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$，得到$P=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】：（1）$P=\frac{1}{a - b}$；（2）$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（1）首先对$P$进行化简，先将$\frac{1}{a + b}$通分，$\frac{1}{a + b}=\frac{a - b}{(a + b)(a - b)}$（因为$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$）。
则$P=\frac{2a}{a^{2}-b^{2}}-\frac{1}{a + b}=\frac{2a}{(a + b)(a - b)}-\frac{a - b}{(a + b)(a - b)}$。
根据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$P=\frac{2a-(a - b)}{(a + b)(a - b)}=\frac{2a - a + b}{(a + b)(a - b)}=\frac{a + b}{(a + b)(a - b)}$。
因为$a\neq\pm b$，即$a + b\neq0$，分子分母同时约去$a + b$，得到$P=\frac{1}{a - b}$。
（2）因为点$(a,b)$在一次函数$y = x-\sqrt{2}$的图象上，根据一次函数图象上点的坐标特征：若点$(x,y)$在函数$y = kx + c$的图象上，则$y=kx + c$成立。
所以把$x = a$，$y = b$代入$y = x-\sqrt{2}$，可得$b=a-\sqrt{2}$，移项得到$a - b=\sqrt{2}$。
将$a - b=\sqrt{2}$代入$P=\frac{1}{a - b}$，可得$P=\frac{1}{\sqrt{2}}$，分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$，得到$P=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】：（1）$P=\frac{1}{a - b}$；（2）$\frac{\sqrt{2}}{2}$
12. 先化简，再求值：$(1 - \frac{2}{x}) \div \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4} - \frac{x + 4}{x + 2}$，其中 $ x^{2} + 2x - 15 = 0 $。
答案：
【解析】：
本题可先对原式进行化简，再根据已知条件求出$x$的值或变形出可代入化简式的式子，最后代入求值。
- **步骤一：化简原式**
化简$(1 - \frac{2}{x})$：
$1 - \frac{2}{x}=\frac{x}{x}-\frac{2}{x}=\frac{x - 2}{x}$
化简$\frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4}$：
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得$x^{2} - 4x + 4=(x - 2)^2$；
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^{2} - 4=(x + 2)(x - 2)$。
所以$\frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4}=\frac{(x - 2)^2}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{x - 2}{x + 2}$。
化简$(1 - \frac{2}{x}) \div \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4}$：
将除法转化为乘法，即$(1 - \frac{2}{x}) \div \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4}=\frac{x - 2}{x}\times\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{x + 2}{x}$。
化简$(1 - \frac{2}{x}) \div \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4} - \frac{x + 4}{x + 2}$：
$\frac{x + 2}{x} - \frac{x + 4}{x + 2}=\frac{(x + 2)^2}{x(x + 2)} - \frac{x(x + 4)}{x(x + 2)}=\frac{(x + 2)^2 - x(x + 4)}{x(x + 2)}$
展开分子$(x + 2)^2 - x(x + 4)$：
$(x + 2)^2 - x(x + 4)=x^2+4x+4-x^2-4x = 4$
所以$\frac{(x + 2)^2 - x(x + 4)}{x(x + 2)}=\frac{4}{x(x + 2)}=\frac{4}{x^2 + 2x}$。
- **步骤二：根据已知条件求出$x^2 + 2x$的值**
已知$x^{2} + 2x - 15 = 0$，移项可得$x^{2} + 2x = 15$。
- **步骤三：代入求值**
将$x^{2} + 2x = 15$代入$\frac{4}{x^2 + 2x}$，可得$\frac{4}{15}$。
【答案】：$\frac{4}{15}$
本题可先对原式进行化简，再根据已知条件求出$x$的值或变形出可代入化简式的式子，最后代入求值。
- **步骤一：化简原式**
化简$(1 - \frac{2}{x})$：
$1 - \frac{2}{x}=\frac{x}{x}-\frac{2}{x}=\frac{x - 2}{x}$
化简$\frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4}$：
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得$x^{2} - 4x + 4=(x - 2)^2$；
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^{2} - 4=(x + 2)(x - 2)$。
所以$\frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4}=\frac{(x - 2)^2}{(x + 2)(x - 2)}=\frac{x - 2}{x + 2}$。
化简$(1 - \frac{2}{x}) \div \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4}$：
将除法转化为乘法，即$(1 - \frac{2}{x}) \div \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4}=\frac{x - 2}{x}\times\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{x + 2}{x}$。
化简$(1 - \frac{2}{x}) \div \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4} - \frac{x + 4}{x + 2}$：
$\frac{x + 2}{x} - \frac{x + 4}{x + 2}=\frac{(x + 2)^2}{x(x + 2)} - \frac{x(x + 4)}{x(x + 2)}=\frac{(x + 2)^2 - x(x + 4)}{x(x + 2)}$
展开分子$(x + 2)^2 - x(x + 4)$：
$(x + 2)^2 - x(x + 4)=x^2+4x+4-x^2-4x = 4$
所以$\frac{(x + 2)^2 - x(x + 4)}{x(x + 2)}=\frac{4}{x(x + 2)}=\frac{4}{x^2 + 2x}$。
- **步骤二：根据已知条件求出$x^2 + 2x$的值**
已知$x^{2} + 2x - 15 = 0$，移项可得$x^{2} + 2x = 15$。
- **步骤三：代入求值**
将$x^{2} + 2x = 15$代入$\frac{4}{x^2 + 2x}$，可得$\frac{4}{15}$。
【答案】：$\frac{4}{15}$
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