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4. 如图1 - 38，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BF = 2，则PE的长为（ ）
A. 2
B. $2\sqrt{3}$
C. $\sqrt{3}$
D. 3
A. 2
B. $2\sqrt{3}$
C. $\sqrt{3}$
D. 3
答案：
C
5. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{3}{2}$
D. 不能确定
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{3}{2}$
D. 不能确定
答案：
1. 首先求等边三角形的面积：
对于等边三角形，边长$a = 3$，根据等边三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$，可得$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times3^{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
也可根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底边长，$h$为这条底边对应的高），对于等边三角形，高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$（这里$a = 3$），$h=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$S=\frac{1}{2}\times3\times\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
2. 然后设点$P$到三边的距离分别为$h_1$，$h_2$，$h_3$：
根据三角形面积的另一种表示方法$S = S_{\triangle PAB}+S_{\triangle PBC}+S_{\triangle PAC}$（$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AB\cdot h_1$，$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}BC\cdot h_2$，$S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}AC\cdot h_3$，且$AB = BC=AC = 3$）。
则$S=\frac{1}{2}\times3\times h_1+\frac{1}{2}\times3\times h_2+\frac{1}{2}\times3\times h_3$。
提取公因式$\frac{3}{2}$得$S=\frac{3}{2}(h_1 + h_2+h_3)$。
3. 最后求$h_1 + h_2 + h_3$的值：
因为$S=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，又$S=\frac{3}{2}(h_1 + h_2 + h_3)$，所以$\frac{3}{2}(h_1 + h_2 + h_3)=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
则$h_1 + h_2 + h_3=\frac{9\sqrt{3}}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
所以点$P$到三边的距离之和为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，答案是B。
对于等边三角形，边长$a = 3$，根据等边三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$，可得$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times3^{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
也可根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底边长，$h$为这条底边对应的高），对于等边三角形，高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$（这里$a = 3$），$h=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$S=\frac{1}{2}\times3\times\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
2. 然后设点$P$到三边的距离分别为$h_1$，$h_2$，$h_3$：
根据三角形面积的另一种表示方法$S = S_{\triangle PAB}+S_{\triangle PBC}+S_{\triangle PAC}$（$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AB\cdot h_1$，$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}BC\cdot h_2$，$S_{\triangle PAC}=\frac{1}{2}AC\cdot h_3$，且$AB = BC=AC = 3$）。
则$S=\frac{1}{2}\times3\times h_1+\frac{1}{2}\times3\times h_2+\frac{1}{2}\times3\times h_3$。
提取公因式$\frac{3}{2}$得$S=\frac{3}{2}(h_1 + h_2+h_3)$。
3. 最后求$h_1 + h_2 + h_3$的值：
因为$S=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，又$S=\frac{3}{2}(h_1 + h_2 + h_3)$，所以$\frac{3}{2}(h_1 + h_2 + h_3)=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
则$h_1 + h_2 + h_3=\frac{9\sqrt{3}}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
所以点$P$到三边的距离之和为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，答案是B。
6. 如图1 - 39，在Rt△ABC中
，∠C = 90°，AC = BC = 1，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则△DBE的周长为______.
，∠C = 90°，AC = BC = 1，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则△DBE的周长为______.
答案：
$\sqrt{2}$
7. 把两个同样大小且含45°角的三角尺按如图1 - 40所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB = 2，则线段CD的长度为______.
答案：
【解析】：
过点$A$作$AF\perp BC$于$F$。
因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$AB = 2$，根据等腰直角三角形的性质，$BC=\sqrt{2}AB = 2\sqrt{2}$，$BF = AF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$。
因为两个三角尺同样大小且含$45^{\circ}$角，所以$AD = BC = 2\sqrt{2}$。
在$Rt\triangle ADF$中，$DF=\sqrt{AD^{2}-AF^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{8 - 2}=\sqrt{6}$。
所以$CD=BF + DF - BC=\sqrt{2}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】：$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
过点$A$作$AF\perp BC$于$F$。
因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$AB = 2$，根据等腰直角三角形的性质，$BC=\sqrt{2}AB = 2\sqrt{2}$，$BF = AF=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$。
因为两个三角尺同样大小且含$45^{\circ}$角，所以$AD = BC = 2\sqrt{2}$。
在$Rt\triangle ADF$中，$DF=\sqrt{AD^{2}-AF^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{8 - 2}=\sqrt{6}$。
所以$CD=BF + DF - BC=\sqrt{2}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】：$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为______.
答案：
【解析】：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时：
已知一腰上的高与另一腰的夹角为$48^{\circ}$，因为高与腰形成直角，所以顶角$\angle A = 90^{\circ}-48^{\circ}=42^{\circ}$。
根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180^{\circ}$，则底角$\angle B=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=\frac{1}{2}(180 - 42)^{\circ}=69^{\circ}$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时：
一腰上的高与另一腰的夹角为$48^{\circ}$，此时顶角的外角为$90^{\circ}-48^{\circ}=42^{\circ}$，所以顶角$\angle BAC = 180^{\circ}-42^{\circ}=138^{\circ}$。
再根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180^{\circ}$，则底角$\angle B=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=\frac{1}{2}(180 - 138)^{\circ}=21^{\circ}$。
【答案】：$69^{\circ}$或$21^{\circ}$
1. 当等腰三角形为锐角三角形时：
已知一腰上的高与另一腰的夹角为$48^{\circ}$，因为高与腰形成直角，所以顶角$\angle A = 90^{\circ}-48^{\circ}=42^{\circ}$。
根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180^{\circ}$，则底角$\angle B=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=\frac{1}{2}(180 - 42)^{\circ}=69^{\circ}$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时：
一腰上的高与另一腰的夹角为$48^{\circ}$，此时顶角的外角为$90^{\circ}-48^{\circ}=42^{\circ}$，所以顶角$\angle BAC = 180^{\circ}-42^{\circ}=138^{\circ}$。
再根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180^{\circ}$，则底角$\angle B=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=\frac{1}{2}(180 - 138)^{\circ}=21^{\circ}$。
【答案】：$69^{\circ}$或$21^{\circ}$
9. 函数y = x + 1的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C在x轴上.若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有______个.
答案：
【解析】：首先，求出$A$、$B$两点的坐标。对于函数$y = x + 1$，当$y = 0$时，$x+1 = 0$，解得$x=-1$，所以$A(-1,0)$；当$x = 0$时，$y=0 + 1=1$，所以$B(0,1)$。
则$OA = 1$，$OB = 1$，根据勾股定理可得$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
接下来分三种情况讨论等腰$\triangle ABC$：
1. 当$AB = AC$时：
因为$AB=\sqrt{2}$，所以$AC=\sqrt{2}$。
已知$A(-1,0)$，点$C$在$x$轴上，若点$C$在点$A$的左侧，则$C$的坐标为$(-1-\sqrt{2},0)$；若点$C$在点$A$的右侧，则$C$的坐标为$(-1 + \sqrt{2},0)$。
2. 当$AB=BC$时：
设$C(x,0)$，因为$B(0,1)$，$AB = \sqrt{2}$，根据两点间距离公式$BC=\sqrt{(x - 0)^{2}+(0 - 1)^{2}}=\sqrt{x^{2}+1}$，由$BC = AB=\sqrt{2}$，即$\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{2}$，两边同时平方得$x^{2}+1 = 2$，解得$x=\pm1$，$x = - 1$时与点$A$重合，舍去，所以$x = 1$，此时$C(1,0)$。
3. 当$AC=BC$时：
设$C(x,0)$，$A(-1,0)$，$B(0,1)$，根据两点间距离公式$AC=\vert x+1\vert$，$BC=\sqrt{(x - 0)^{2}+(0 - 1)^{2}}=\sqrt{x^{2}+1}$，由$AC = BC$可得$\vert x + 1\vert=\sqrt{x^{2}+1}$，两边同时平方得$(x + 1)^{2}=x^{2}+1$，展开得$x^{2}+2x + 1=x^{2}+1$，解得$x = 0$，此时$C$与原点重合。
综上，满足条件的点$C$共有$4$个。
【答案】：$4$
则$OA = 1$，$OB = 1$，根据勾股定理可得$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
接下来分三种情况讨论等腰$\triangle ABC$：
1. 当$AB = AC$时：
因为$AB=\sqrt{2}$，所以$AC=\sqrt{2}$。
已知$A(-1,0)$，点$C$在$x$轴上，若点$C$在点$A$的左侧，则$C$的坐标为$(-1-\sqrt{2},0)$；若点$C$在点$A$的右侧，则$C$的坐标为$(-1 + \sqrt{2},0)$。
2. 当$AB=BC$时：
设$C(x,0)$，因为$B(0,1)$，$AB = \sqrt{2}$，根据两点间距离公式$BC=\sqrt{(x - 0)^{2}+(0 - 1)^{2}}=\sqrt{x^{2}+1}$，由$BC = AB=\sqrt{2}$，即$\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{2}$，两边同时平方得$x^{2}+1 = 2$，解得$x=\pm1$，$x = - 1$时与点$A$重合，舍去，所以$x = 1$，此时$C(1,0)$。
3. 当$AC=BC$时：
设$C(x,0)$，$A(-1,0)$，$B(0,1)$，根据两点间距离公式$AC=\vert x+1\vert$，$BC=\sqrt{(x - 0)^{2}+(0 - 1)^{2}}=\sqrt{x^{2}+1}$，由$AC = BC$可得$\vert x + 1\vert=\sqrt{x^{2}+1}$，两边同时平方得$(x + 1)^{2}=x^{2}+1$，展开得$x^{2}+2x + 1=x^{2}+1$，解得$x = 0$，此时$C$与原点重合。
综上，满足条件的点$C$共有$4$个。
【答案】：$4$
10. 如图1 - 41，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD.若AB = BD，AB = 6，∠C = 30°，则△ACD的面积为______.
答案：
【解析】：
由作图可知，$MN$是$AC$的垂直平分线，所以$AD = CD$。
因为$AD = CD$，所以$\angle DAC=\angle C = 30^{\circ}$，则$\angle ADB=\angle DAC+\angle C = 60^{\circ}$。
又因为$AB = BD$，所以$\triangle ABD$是等边三角形，$BD = AB = AD = 6$，所以$CD = AD = 6$。
过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$，在$Rt\triangle ABE$中，$\angle B = 60^{\circ}$，$AB = 6$，则$BE=\frac{1}{2}AB = 3$，根据勾股定理可得$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}} = 3\sqrt{3}$。
$\triangle ACD$的面积$S=\frac{1}{2}\times CD\times AE=\frac{1}{2}\times6\times3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
【答案】：$9\sqrt{3}$
由作图可知，$MN$是$AC$的垂直平分线，所以$AD = CD$。
因为$AD = CD$，所以$\angle DAC=\angle C = 30^{\circ}$，则$\angle ADB=\angle DAC+\angle C = 60^{\circ}$。
又因为$AB = BD$，所以$\triangle ABD$是等边三角形，$BD = AB = AD = 6$，所以$CD = AD = 6$。
过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$，在$Rt\triangle ABE$中，$\angle B = 60^{\circ}$，$AB = 6$，则$BE=\frac{1}{2}AB = 3$，根据勾股定理可得$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}} = 3\sqrt{3}$。
$\triangle ACD$的面积$S=\frac{1}{2}\times CD\times AE=\frac{1}{2}\times6\times3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
【答案】：$9\sqrt{3}$
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