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12. 如图3-26,将Rt△ABC沿斜边AB向右平移5cm,得到Rt△DEF.已知AB = 10cm,BC = 8cm,求图中阴影部分三角形的周长.
答案：
【解析】：
- 第一步：根据平移性质，$AD = 5cm$，$AB = 10cm$，所以$DB=AB - AD=10 - 5 = 5cm$。
- 第二步：因为$\triangle ABC$平移得到$\triangle DEF$，所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，则$\angle ABC=\angle DEF$，所以$BC// EF$，进而可得$\triangle DBM\sim\triangle DEF\sim\triangle ABC$（$M$为阴影部分三角形顶点，这里可通过相似比或利用平移性质转化）。
- 第三步：利用平移性质，$AC = DF$，$\angle A=\angle FDE$，又因为$\triangle ABC$是$Rt\triangle$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6cm$。
- 第四步：通过平移可知阴影部分三角形与$\triangle ABC$的关系，阴影部分三角形的周长等于$DB + BM+MD$，由于平移，$MD + BM=BC = 8cm$，$DB = 5cm$，所以阴影部分三角形周长为$5 + 8+6-(AC + BC - (MD + BM))$（这里更简单的方法是：因为$AD = BE = 5$，$DB = 5$，$\triangle DBM$与$\triangle ABC$相似比为$1:2$，但更快捷的是利用平移，$MD + BM=BC = 8$，$DB = 5$，$DM$平移性质对应$AC$的一部分，实际阴影部分三角形周长$=DB+(BM + MD)=5 + 8+6-(AC + BC-(BM + MD))$，换个思路，$\because\triangle ABC$平移得到$\triangle DEF$，$\therefore AC = DF$，$BC = EF$，$\angle C=\angle F = 90^{\circ}$，$AD = BE = 5$，$DB = 5$，设$MD// AC$（由平移性质），则$\triangle DBM$中，$MD// AC$，$\frac{DB}{AB}=\frac{MD}{AC}$，$AC = 6$，可得$MD = 3$，同理$BM = 4$，周长为$3 + 4+5 = 12cm$；或者更简单，因为$AD = 5$，$AB = 10$，所以$DB = 5$，$\triangle DBM$与$\triangle ABC$相似比$1:2$，$\triangle ABC$周长$6 + 8+10 = 24$，阴影部分周长$12$；最简单的是：由平移$MD + BM=BC = 8$，$DB = 5$，$DM$对应$AC$平移关系，$DM=\frac{1}{2}AC = 3$（因为$DB=\frac{1}{2}AB$），$BM=\frac{1}{2}BC = 4$，周长$3 + 4+5 = 12$；最快捷的：阴影部分三角形周长$= DB+(BM + MD)$，由平移$BM + MD=BC = 8$（$\triangle DBM$中$BM + MD$平移后和$BC$的关系，因为$AD = 5$，$AB = 10$，$\triangle DBM$与$\triangle ABC$相似，相似比$1:2$，$AC = 6$，$MD = 3$，$BC = 8$，$BM = 4$，周长$3 + 4+5 = 12$；另一种方法：$\because$平移$5cm$，$AD = BE = 5$，$DB = 5$，$\triangle DBM\sim\triangle ABC$（$\angle DBM=\angle ABC$，$\angle BDM=\angle BAC$），相似比$\frac{DB}{AB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，$\triangle ABC$周长$6 + 8+10 = 24$，所以阴影部分周长$24\times\frac{1}{2}=12$。
【答案】：$12cm$
- 第一步：根据平移性质，$AD = 5cm$，$AB = 10cm$，所以$DB=AB - AD=10 - 5 = 5cm$。
- 第二步：因为$\triangle ABC$平移得到$\triangle DEF$，所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，则$\angle ABC=\angle DEF$，所以$BC// EF$，进而可得$\triangle DBM\sim\triangle DEF\sim\triangle ABC$（$M$为阴影部分三角形顶点，这里可通过相似比或利用平移性质转化）。
- 第三步：利用平移性质，$AC = DF$，$\angle A=\angle FDE$，又因为$\triangle ABC$是$Rt\triangle$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6cm$。
- 第四步：通过平移可知阴影部分三角形与$\triangle ABC$的关系，阴影部分三角形的周长等于$DB + BM+MD$，由于平移，$MD + BM=BC = 8cm$，$DB = 5cm$，所以阴影部分三角形周长为$5 + 8+6-(AC + BC - (MD + BM))$（这里更简单的方法是：因为$AD = BE = 5$，$DB = 5$，$\triangle DBM$与$\triangle ABC$相似比为$1:2$，但更快捷的是利用平移，$MD + BM=BC = 8$，$DB = 5$，$DM$平移性质对应$AC$的一部分，实际阴影部分三角形周长$=DB+(BM + MD)=5 + 8+6-(AC + BC-(BM + MD))$，换个思路，$\because\triangle ABC$平移得到$\triangle DEF$，$\therefore AC = DF$，$BC = EF$，$\angle C=\angle F = 90^{\circ}$，$AD = BE = 5$，$DB = 5$，设$MD// AC$（由平移性质），则$\triangle DBM$中，$MD// AC$，$\frac{DB}{AB}=\frac{MD}{AC}$，$AC = 6$，可得$MD = 3$，同理$BM = 4$，周长为$3 + 4+5 = 12cm$；或者更简单，因为$AD = 5$，$AB = 10$，所以$DB = 5$，$\triangle DBM$与$\triangle ABC$相似比$1:2$，$\triangle ABC$周长$6 + 8+10 = 24$，阴影部分周长$12$；最简单的是：由平移$MD + BM=BC = 8$，$DB = 5$，$DM$对应$AC$平移关系，$DM=\frac{1}{2}AC = 3$（因为$DB=\frac{1}{2}AB$），$BM=\frac{1}{2}BC = 4$，周长$3 + 4+5 = 12$；最快捷的：阴影部分三角形周长$= DB+(BM + MD)$，由平移$BM + MD=BC = 8$（$\triangle DBM$中$BM + MD$平移后和$BC$的关系，因为$AD = 5$，$AB = 10$，$\triangle DBM$与$\triangle ABC$相似，相似比$1:2$，$AC = 6$，$MD = 3$，$BC = 8$，$BM = 4$，周长$3 + 4+5 = 12$；另一种方法：$\because$平移$5cm$，$AD = BE = 5$，$DB = 5$，$\triangle DBM\sim\triangle ABC$（$\angle DBM=\angle ABC$，$\angle BDM=\angle BAC$），相似比$\frac{DB}{AB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，$\triangle ABC$周长$6 + 8+10 = 24$，所以阴影部分周长$24\times\frac{1}{2}=12$。
【答案】：$12cm$
13. 如图3-27,在四边形ABCD中,∠ADC = ∠B = 90°,DE⊥AB,垂足为E,AD = CD,且DE = BE = 5,请用旋转图形的方法求四边形ABCD的面积.
答案：
【解析】：
将$\triangle ADE$绕点$D$顺时针旋转$90^{\circ}$，因为$AD = CD$，$\angle ADC=90^{\circ}$，$\angle DEB = 90^{\circ}$，$DE = BE = 5$。
旋转后$A$点与$C$点重合，$DE$旋转到$DC$右侧且与$BE$在同一直线上。
此时四边形$ABCD$的面积就等于正方形$DEBC$的面积。
根据正方形面积公式$S = a^{2}$（$a$为边长），这里$a = 5$。
所以$S_{四边形ABCD}=S_{正方形DEBC}=5\times5 = 25$。
【答案】：$25$
将$\triangle ADE$绕点$D$顺时针旋转$90^{\circ}$，因为$AD = CD$，$\angle ADC=90^{\circ}$，$\angle DEB = 90^{\circ}$，$DE = BE = 5$。
旋转后$A$点与$C$点重合，$DE$旋转到$DC$右侧且与$BE$在同一直线上。
此时四边形$ABCD$的面积就等于正方形$DEBC$的面积。
根据正方形面积公式$S = a^{2}$（$a$为边长），这里$a = 5$。
所以$S_{四边形ABCD}=S_{正方形DEBC}=5\times5 = 25$。
【答案】：$25$
1. 在平面直角坐标系中,将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点A',则点A'的坐标是 ( )
A. (-1,1)
B. (-1,-2)
C. (-1,2)
D. (1,2)
A. (-1,1)
B. (-1,-2)
C. (-1,2)
D. (1,2)
答案：
A
2. 如图3-28,已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合,另两个顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(0,√3).现将该三角板向右平移使点A与点O重合,得到△OCB',则点B的对应点B'的坐标是 ( )
A. (1,0)
B. (√3,√3)
C. (1,√3)
D. (-1,√3)
A. (1,0)
B. (√3,√3)
C. (1,√3)
D. (-1,√3)
答案：
C
3. 在如图3-29所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是 ( )
A. 40°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
A. 40°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
答案：
D
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