《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学北师大版》

11. 如图1 - 32，在长方形ABCD中，AB ＞ AD，把长方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.

（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：△DEF是等腰三角形.

答案： 1. （1）证明$\triangle ADE\cong\triangle CED$：
解：
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AD = BC$，$AB = CD$。
由折叠可知$BC = CE$，$AB = AE$，所以$AD = CE$，$AE = CD$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CED$中，$\begin{cases}AD = CE\\AE = CD\\DE = ED\end{cases}$（公共边）。
根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle CED$。
2. （2）证明$\triangle DEF$是等腰三角形：
解：
因为$\triangle ADE\cong\triangle CED$，所以$\angle AED=\angle CDE$。
所以$DF = EF$（等角对等边）。
所以$\triangle DEF$是等腰三角形。

12. 在△ABC中，AC ＜ AB ＜ BC.
（1）如图1 - 33①，已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC = 2∠B.
（2）如图1 - 33②，以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC = 3∠B，求∠B的度数.

答案： 【解析】：
（1）
因为点$P$在线段$AB$的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$PA = PB$。
由等边对等角可得$\angle PAB=\angle B$。
又因为$\angle APC$是$\triangle ABP$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以$\angle APC=\angle PAB + \angle B$。
把$\angle PAB=\angle B$代入上式，可得$\angle APC = 2\angle B$。
（2）
因为$BA = BQ$，根据等边对等角可知$\angle BAQ=\angle BQA$。
设$\angle B=x$，则$\angle AQC=\angle B+\angle BAQ = 3x$，所以$\angle BAQ=\angle BQA = 2x$。
在$\triangle ABQ$中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle B+\angle BAQ+\angle BQA = 180^{\circ}$。
把$\angle B=x$，$\angle BAQ=\angle BQA = 2x$代入上式，即$x + 2x+2x=180^{\circ}$。
合并同类项得$5x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$，所以$\angle B = 36^{\circ}$。
【答案】：
（1）证明过程如上述解析；（2）$36^{\circ}$