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1. 若实数m，n满足等式|m - 2| + $\sqrt{n - 4}$ = 0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
答案：
1. 首先，根据绝对值与算术平方根的非负性：
因为$\vert m - 2\vert+\sqrt{n - 4}=0$，且$\vert m - 2\vert\geq0$，$\sqrt{n - 4}\geq0$。
所以当$\vert m - 2\vert = 0$且$\sqrt{n - 4}=0$时等式成立。
由$\vert m - 2\vert = 0$，可得$m−2 = 0$，解得$m = 2$；由$\sqrt{n - 4}=0$，可得$n−4 = 0$，解得$n = 4$。
2. 然后，根据等腰三角形的性质分情况讨论：
情况一：当$m = 2$为腰长时，三边长分别为$2$，$2$，$4$。
因为$2 + 2=4$，不满足三角形三边关系$a + b＞c$（设$a = 2$，$b = 2$，$c = 4$），所以这种情况不能构成三角形。
情况二：当$n = 4$为腰长时，三边长分别为$2$，$4$，$4$。
此时$2+4＞4$，$4 + 4＞2$，满足三角形三边关系$a + b＞c$（$a = 2$，$b = 4$，$c = 4$）。
那么三角形$ABC$的周长$C=2 + 4+4$。
计算$C = 10$。
所以$\triangle ABC$的周长是$10$，答案是B。
因为$\vert m - 2\vert+\sqrt{n - 4}=0$，且$\vert m - 2\vert\geq0$，$\sqrt{n - 4}\geq0$。
所以当$\vert m - 2\vert = 0$且$\sqrt{n - 4}=0$时等式成立。
由$\vert m - 2\vert = 0$，可得$m−2 = 0$，解得$m = 2$；由$\sqrt{n - 4}=0$，可得$n−4 = 0$，解得$n = 4$。
2. 然后，根据等腰三角形的性质分情况讨论：
情况一：当$m = 2$为腰长时，三边长分别为$2$，$2$，$4$。
因为$2 + 2=4$，不满足三角形三边关系$a + b＞c$（设$a = 2$，$b = 2$，$c = 4$），所以这种情况不能构成三角形。
情况二：当$n = 4$为腰长时，三边长分别为$2$，$4$，$4$。
此时$2+4＞4$，$4 + 4＞2$，满足三角形三边关系$a + b＞c$（$a = 2$，$b = 4$，$c = 4$）。
那么三角形$ABC$的周长$C=2 + 4+4$。
计算$C = 10$。
所以$\triangle ABC$的周长是$10$，答案是B。
2. 一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角的度数为______.
答案：
1. 首先明确等腰三角形的性质：
等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle A+\angle B + \angle C=180^{\circ}$（设$\angle A$为顶角，$\angle B=\angle C$为底角），且外角与它相邻的内角互补。
2. 然后分情况讨论：
情况一：若$110^{\circ}$的外角是顶角的外角**：
根据外角与内角互补，设顶角为$\alpha$，则$\alpha + 110^{\circ}=180^{\circ}$。
解得$\alpha=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$。
情况二：若$110^{\circ}$的外角是底角的外角**：
设底角为$\beta$，因为$\beta + 110^{\circ}=180^{\circ}$，所以$\beta = 180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$。
又因为等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和$\angle A+2\beta=180^{\circ}$（$\angle A$为顶角），则顶角$\angle A=180^{\circ}-2\times70^{\circ}$。
计算$180^{\circ}-2\times70^{\circ}=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$。
所以这个三角形顶角的度数为$70^{\circ}$或$40^{\circ}$。
等腰三角形两底角相等，三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle A+\angle B + \angle C=180^{\circ}$（设$\angle A$为顶角，$\angle B=\angle C$为底角），且外角与它相邻的内角互补。
2. 然后分情况讨论：
情况一：若$110^{\circ}$的外角是顶角的外角**：
根据外角与内角互补，设顶角为$\alpha$，则$\alpha + 110^{\circ}=180^{\circ}$。
解得$\alpha=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$。
情况二：若$110^{\circ}$的外角是底角的外角**：
设底角为$\beta$，因为$\beta + 110^{\circ}=180^{\circ}$，所以$\beta = 180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$。
又因为等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和$\angle A+2\beta=180^{\circ}$（$\angle A$为顶角），则顶角$\angle A=180^{\circ}-2\times70^{\circ}$。
计算$180^{\circ}-2\times70^{\circ}=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$。
所以这个三角形顶角的度数为$70^{\circ}$或$40^{\circ}$。
3. 如图1 - 1，在△ABC中，AB = AD = DC，∠BAD = 20°，则∠C的度数为______.
答案：
1. 首先，在$\triangle ABD$中：
已知$AB = AD$，根据等腰三角形的性质$\angle B=\angle ADB$。
由三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle ADB = 180^{\circ}$，且$\angle BAD = 20^{\circ}$，设$\angle B=\angle ADB=x$，则$20^{\circ}+x + x=180^{\circ}$。
化简方程$2x=180^{\circ}-20^{\circ}=160^{\circ}$，解得$x = 80^{\circ}$，所以$\angle ADB = 80^{\circ}$。
2. 然后，求$\angle ADC$的度数：
因为$\angle ADB+\angle ADC = 180^{\circ}$（邻补角的定义），所以$\angle ADC=180^{\circ}-\angle ADB$。
把$\angle ADB = 80^{\circ}$代入，得$\angle ADC = 100^{\circ}$。
3. 最后，在$\triangle ADC$中：
已知$AD = DC$，根据等腰三角形的性质$\angle C=\angle DAC$。
再由三角形内角和定理$\angle ADC+\angle C+\angle DAC = 180^{\circ}$，设$\angle C = y$，则$\angle DAC = y$，所以$100^{\circ}+y + y=180^{\circ}$。
化简方程$2y=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$，解得$y = 40^{\circ}$。
所以$\angle C$的度数为$40^{\circ}$。
已知$AB = AD$，根据等腰三角形的性质$\angle B=\angle ADB$。
由三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle ADB = 180^{\circ}$，且$\angle BAD = 20^{\circ}$，设$\angle B=\angle ADB=x$，则$20^{\circ}+x + x=180^{\circ}$。
化简方程$2x=180^{\circ}-20^{\circ}=160^{\circ}$，解得$x = 80^{\circ}$，所以$\angle ADB = 80^{\circ}$。
2. 然后，求$\angle ADC$的度数：
因为$\angle ADB+\angle ADC = 180^{\circ}$（邻补角的定义），所以$\angle ADC=180^{\circ}-\angle ADB$。
把$\angle ADB = 80^{\circ}$代入，得$\angle ADC = 100^{\circ}$。
3. 最后，在$\triangle ADC$中：
已知$AD = DC$，根据等腰三角形的性质$\angle C=\angle DAC$。
再由三角形内角和定理$\angle ADC+\angle C+\angle DAC = 180^{\circ}$，设$\angle C = y$，则$\angle DAC = y$，所以$100^{\circ}+y + y=180^{\circ}$。
化简方程$2y=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$，解得$y = 40^{\circ}$。
所以$\angle C$的度数为$40^{\circ}$。
4. 在△ABC中，若∠A = 80°，∠B = 50°，AC = 5，则AB的长度为______.
答案：
【解析】：在$\triangle ABC$中，已知$\angle A = 80^{\circ}$，$\angle B = 50^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle C=180^{\circ}-\angle A - \angle B=180^{\circ}-80^{\circ}-50^{\circ}=50^{\circ}$。
因为$\angle B = \angle C = 50^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$AB = AC$。
又已知$AC = 5$，所以$AB = 5$。
【答案】：$5$
因为$\angle B = \angle C = 50^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$AB = AC$。
又已知$AC = 5$，所以$AB = 5$。
【答案】：$5$
5. 如图1 - 2，在△ABC中，AB = BC，DE⊥AB于点E，FD⊥BC于点D，交AC于点F.
（1）若∠AFD = 155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD = $\frac{1}{2}$∠B.
（1）若∠AFD = 155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD = $\frac{1}{2}$∠B.
答案：
【解析】：
### $(1)$求$\angle EDF$的度数
- 首先求$\angle DFC$的度数：
已知$\angle AFD = 155^{\circ}$，因为$\angle AFD+\angle DFC = 180^{\circ}$（邻补角的定义），所以$\angle DFC=180^{\circ}-\angle AFD = 180^{\circ}- 155^{\circ}=25^{\circ}$。
- 然后求$\angle C$的度数：
因为$FD\perp BC$，在$Rt\triangle FDC$中，$\angle FDC = 90^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle C=90^{\circ}-\angle DFC=90^{\circ}-25^{\circ} = 65^{\circ}$。
- 接着利用$AB = BC$求$\angle A$的度数：
因为$AB = BC$，所以$\angle A=\angle C = 65^{\circ}$（等边对等角）。
- 最后求$\angle EDF$的度数：
因为$DE\perp AB$，$FD\perp BC$，所以$\angle DEB=\angle FDC = 90^{\circ}$。
四边形$BEDF$内角和为$360^{\circ}$，$\angle B +\angle BED+\angle EDF+\angle BDF = 360^{\circ}$，又因为$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，$\angle A=\angle C = 65^{\circ}$，所以$\angle B=180^{\circ}-(\angle A+\angle C)=180^{\circ}-(65^{\circ}+65^{\circ}) = 50^{\circ}$。
$\angle BED=\angle FDC = 90^{\circ}$，$\angle BDF = 90^{\circ}$，则$\angle EDF=360^{\circ}-\angle B - \angle BED-\angle BDF=360^{\circ}-50^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=130^{\circ}-90^{\circ}=50^{\circ}$。
### $(2)$证明$\angle CFD=\frac{1}{2}\angle B$
连接$BF$：
- 因为$AB = BC$，点$F$是$AC$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合），所以$BF\perp AC$，$\angle ABF=\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC$。
- 又因为$\angle CFD+\angle BFD = 90^{\circ}$，$\angle CBF+\angle BFD = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余）。
根据同角的余角相等，所以$\angle CFD=\angle CBF$，而$\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC$，所以$\angle CFD=\frac{1}{2}\angle B$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{50^{\circ}}$；$(2)$证明过程如上述解析，证得$\angle CFD=\frac{1}{2}\angle B$。
### $(1)$求$\angle EDF$的度数
- 首先求$\angle DFC$的度数：
已知$\angle AFD = 155^{\circ}$，因为$\angle AFD+\angle DFC = 180^{\circ}$（邻补角的定义），所以$\angle DFC=180^{\circ}-\angle AFD = 180^{\circ}- 155^{\circ}=25^{\circ}$。
- 然后求$\angle C$的度数：
因为$FD\perp BC$，在$Rt\triangle FDC$中，$\angle FDC = 90^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可得$\angle C=90^{\circ}-\angle DFC=90^{\circ}-25^{\circ} = 65^{\circ}$。
- 接着利用$AB = BC$求$\angle A$的度数：
因为$AB = BC$，所以$\angle A=\angle C = 65^{\circ}$（等边对等角）。
- 最后求$\angle EDF$的度数：
因为$DE\perp AB$，$FD\perp BC$，所以$\angle DEB=\angle FDC = 90^{\circ}$。
四边形$BEDF$内角和为$360^{\circ}$，$\angle B +\angle BED+\angle EDF+\angle BDF = 360^{\circ}$，又因为$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，$\angle A=\angle C = 65^{\circ}$，所以$\angle B=180^{\circ}-(\angle A+\angle C)=180^{\circ}-(65^{\circ}+65^{\circ}) = 50^{\circ}$。
$\angle BED=\angle FDC = 90^{\circ}$，$\angle BDF = 90^{\circ}$，则$\angle EDF=360^{\circ}-\angle B - \angle BED-\angle BDF=360^{\circ}-50^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=130^{\circ}-90^{\circ}=50^{\circ}$。
### $(2)$证明$\angle CFD=\frac{1}{2}\angle B$
连接$BF$：
- 因为$AB = BC$，点$F$是$AC$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合），所以$BF\perp AC$，$\angle ABF=\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC$。
- 又因为$\angle CFD+\angle BFD = 90^{\circ}$，$\angle CBF+\angle BFD = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余）。
根据同角的余角相等，所以$\angle CFD=\angle CBF$，而$\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC$，所以$\angle CFD=\frac{1}{2}\angle B$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{50^{\circ}}$；$(2)$证明过程如上述解析，证得$\angle CFD=\frac{1}{2}\angle B$。
1. 如图1 - 3，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处.若AE = $\sqrt{3}$，则BC的长是（ ）
A. 1
B. 2
C. $\sqrt{3}$
D. 3
A. 1
B. 2
C. $\sqrt{3}$
D. 3
答案：
$\sqrt{3}$
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