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5. 若 $ m $ 等于它的倒数，求分式 $\frac{m^{2} + 4m + 4}{m^{2} - 4} \div \frac{m^{2} + 2m}{m - 2}$ 的值。
答案：
【解析】：
本题可先化简给定的分式，再根据$m$等于它的倒数求出$m$的值，最后代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简分式$\frac{m^{2} + 4m + 4}{m^{2} - 4} \div \frac{m^{2} + 2m}{m - 2}$。**
对分子分母分别进行因式分解：
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得$m^{2} + 4m + 4=(m + 2)^2$；
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$m^{2} - 4=(m + 2)(m - 2)$；
提取公因式$m$，可得$m^{2} + 2m=m(m + 2)$。
将因式分解后的式子代入原式并将除法转化为乘法：
$\frac{m^{2} + 4m + 4}{m^{2} - 4} \div \frac{m^{2} + 2m}{m - 2}=\frac{(m + 2)^2}{(m + 2)(m - 2)}\times\frac{m - 2}{m(m + 2)}$
约分：
约去分子分母中的公因式$(m + 2)$和$(m - 2)$，可得$\frac{1}{m}$。
- **步骤二：根据$m$等于它的倒数求出$m$的值。**
倒数的定义为：若两个数的乘积是$1$，我们就称这两个数互为倒数。
已知$m$等于它的倒数，则$m=\frac{1}{m}$，即$m^2 = 1$，解得$m = \pm 1$。
- **步骤三：分情况代入$m$的值求值。**
当$m = 1$时，$\frac{1}{m}=\frac{1}{1}=1$。
当$m = -1$时，$\frac{1}{m}=\frac{1}{-1}=-1$。
【答案】：$1$或$-1$
本题可先化简给定的分式，再根据$m$等于它的倒数求出$m$的值，最后代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简分式$\frac{m^{2} + 4m + 4}{m^{2} - 4} \div \frac{m^{2} + 2m}{m - 2}$。**
对分子分母分别进行因式分解：
根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得$m^{2} + 4m + 4=(m + 2)^2$；
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$m^{2} - 4=(m + 2)(m - 2)$；
提取公因式$m$，可得$m^{2} + 2m=m(m + 2)$。
将因式分解后的式子代入原式并将除法转化为乘法：
$\frac{m^{2} + 4m + 4}{m^{2} - 4} \div \frac{m^{2} + 2m}{m - 2}=\frac{(m + 2)^2}{(m + 2)(m - 2)}\times\frac{m - 2}{m(m + 2)}$
约分：
约去分子分母中的公因式$(m + 2)$和$(m - 2)$，可得$\frac{1}{m}$。
- **步骤二：根据$m$等于它的倒数求出$m$的值。**
倒数的定义为：若两个数的乘积是$1$，我们就称这两个数互为倒数。
已知$m$等于它的倒数，则$m=\frac{1}{m}$，即$m^2 = 1$，解得$m = \pm 1$。
- **步骤三：分情况代入$m$的值求值。**
当$m = 1$时，$\frac{1}{m}=\frac{1}{1}=1$。
当$m = -1$时，$\frac{1}{m}=\frac{1}{-1}=-1$。
【答案】：$1$或$-1$
1. 分式 $\frac{b}{ax}$，$\frac{c}{-3bx}$，$\frac{a}{5x^{3}}$ 的最简公分母是 （ ）
A. $ 5abx $
B. $ 15abx^{5} $
C. $ 15abx $
D. $ 15abx^{3} $
A. $ 5abx $
B. $ 15abx^{5} $
C. $ 15abx $
D. $ 15abx^{3} $
答案：
D
2. 计算：$\frac{a + 2b}{a - b} + \frac{b}{b - a} - \frac{2a}{a - b}=\_\_\_\_\_\_$。
答案：
$-1$
3. 计算：$\frac{2}{3a^{2}} + \frac{3}{4b} - \frac{5}{6ab}=\_\_\_\_\_\_$。
答案：
$\frac{9a^{2}-10a + 8b}{12a^{2}b}$
4. 已知 $ a^{2} - 6a + 9 $ 与 $ (b - 1)^{2} $ 互为相反数，则式子 $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \div (a + b)$ 的值是 $\_\_\_\_\_\_$。
答案：
$\frac{2}{3}$
5. 计算：
（1）$\frac{12}{m^{2} - 9} - \frac{2}{m - 3}$；
（2）$\frac{x^{2} + 9x}{x^{2} + 3x} + \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6x + 9}$。
（1）$\frac{12}{m^{2} - 9} - \frac{2}{m - 3}$；
（2）$\frac{x^{2} + 9x}{x^{2} + 3x} + \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6x + 9}$。
答案：
【解析】：
（1）
本题可先对原式中的分母进行因式分解，再通分，最后进行化简。
- **步骤一：对原式分母进行因式分解**
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对$m^2 - 9$因式分解可得$m^2 - 9=(m + 3)(m - 3)$。
此时原式$\frac{12}{m^{2} - 9} - \frac{2}{m - 3}$可化为$\frac{12}{(m + 3)(m - 3)} - \frac{2}{m - 3}$。
- **步骤二：通分**
两个分式的最简公分母为$(m + 3)(m - 3)$，将$\frac{2}{m - 3}$的分子分母同时乘以$(m + 3)$，得到$\frac{2(m + 3)}{(m + 3)(m - 3)}$。
则原式变为$\frac{12}{(m + 3)(m - 3)} - \frac{2(m + 3)}{(m + 3)(m - 3)}$。
- **步骤三：计算并化简**
根据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\frac{12}{(m + 3)(m - 3)} - \frac{2(m + 3)}{(m + 3)(m - 3)}=\frac{12 - 2(m + 3)}{(m + 3)(m - 3)}$
去括号得$\frac{12 - 2m - 6}{(m + 3)(m - 3)}=\frac{6 - 2m}{(m + 3)(m - 3)}$
提取公因式$-2$得$\frac{-2(m - 3)}{(m + 3)(m - 3)}$
约分可得$-\frac{2}{m + 3}$。
（2）
本题可先对原式中的分子分母分别进行因式分解，再化简，最后进行加法运算。
- **步骤一：对原式分子分母进行因式分解**
对于$\frac{x^{2} + 9x}{x^{2} + 3x}$，分子提取公因式$x$得$x^{2} + 9x=x(x + 9)$，分母提取公因式$x$得$x^{2} + 3x=x(x + 3)$，则$\frac{x^{2} + 9x}{x^{2} + 3x}=\frac{x(x + 9)}{x(x + 3)}$。
对于$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6x + 9}$，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对分子因式分解可得$x^{2} - 9=(x + 3)(x - 3)$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对分母因式分解可得$x^{2} + 6x + 9=(x + 3)^2$，则$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6x + 9}=\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^2}$。
- **步骤二：化简分式**
对$\frac{x(x + 9)}{x(x + 3)}$约分，约去公因式$x$，可得$\frac{x + 9}{x + 3}$。
对$\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^2}$约分，约去公因式$(x + 3)$，可得$\frac{x - 3}{x + 3}$。
- **步骤三：进行加法运算**
$\frac{x + 9}{x + 3}+\frac{x - 3}{x + 3}$，根据同分母分式的加法法则：同分母的分式相加，分母不变，分子相加，可得：
$\frac{x + 9 + x - 3}{x + 3}=\frac{2x + 6}{x + 3}$
提取公因式$2$得$\frac{2(x + 3)}{x + 3}$
约分可得$2$。
【答案】：（1）$-\frac{2}{m + 3}$；（2）$2$
（1）
本题可先对原式中的分母进行因式分解，再通分，最后进行化简。
- **步骤一：对原式分母进行因式分解**
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对$m^2 - 9$因式分解可得$m^2 - 9=(m + 3)(m - 3)$。
此时原式$\frac{12}{m^{2} - 9} - \frac{2}{m - 3}$可化为$\frac{12}{(m + 3)(m - 3)} - \frac{2}{m - 3}$。
- **步骤二：通分**
两个分式的最简公分母为$(m + 3)(m - 3)$，将$\frac{2}{m - 3}$的分子分母同时乘以$(m + 3)$，得到$\frac{2(m + 3)}{(m + 3)(m - 3)}$。
则原式变为$\frac{12}{(m + 3)(m - 3)} - \frac{2(m + 3)}{(m + 3)(m - 3)}$。
- **步骤三：计算并化简**
根据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$\frac{12}{(m + 3)(m - 3)} - \frac{2(m + 3)}{(m + 3)(m - 3)}=\frac{12 - 2(m + 3)}{(m + 3)(m - 3)}$
去括号得$\frac{12 - 2m - 6}{(m + 3)(m - 3)}=\frac{6 - 2m}{(m + 3)(m - 3)}$
提取公因式$-2$得$\frac{-2(m - 3)}{(m + 3)(m - 3)}$
约分可得$-\frac{2}{m + 3}$。
（2）
本题可先对原式中的分子分母分别进行因式分解，再化简，最后进行加法运算。
- **步骤一：对原式分子分母进行因式分解**
对于$\frac{x^{2} + 9x}{x^{2} + 3x}$，分子提取公因式$x$得$x^{2} + 9x=x(x + 9)$，分母提取公因式$x$得$x^{2} + 3x=x(x + 3)$，则$\frac{x^{2} + 9x}{x^{2} + 3x}=\frac{x(x + 9)}{x(x + 3)}$。
对于$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6x + 9}$，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对分子因式分解可得$x^{2} - 9=(x + 3)(x - 3)$，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对分母因式分解可得$x^{2} + 6x + 9=(x + 3)^2$，则$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6x + 9}=\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^2}$。
- **步骤二：化简分式**
对$\frac{x(x + 9)}{x(x + 3)}$约分，约去公因式$x$，可得$\frac{x + 9}{x + 3}$。
对$\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 3)^2}$约分，约去公因式$(x + 3)$，可得$\frac{x - 3}{x + 3}$。
- **步骤三：进行加法运算**
$\frac{x + 9}{x + 3}+\frac{x - 3}{x + 3}$，根据同分母分式的加法法则：同分母的分式相加，分母不变，分子相加，可得：
$\frac{x + 9 + x - 3}{x + 3}=\frac{2x + 6}{x + 3}$
提取公因式$2$得$\frac{2(x + 3)}{x + 3}$
约分可得$2$。
【答案】：（1）$-\frac{2}{m + 3}$；（2）$2$
6. 先化简，再求值：$(\frac{x + 1}{x - 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 2x}{x^{2} - 4x + 4}$，其中 $ x = \sqrt{3} $。
答案：
【解析】：
本题可先对原式进行化简，再将$x = \sqrt{3}$代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简原式**
**化简$(\frac{x + 1}{x - 2} - 1)$：**
对$\frac{x + 1}{x - 2} - 1$进行通分，$1$可化为$\frac{x - 2}{x - 2}$，则$\frac{x + 1}{x - 2} - 1=\frac{x + 1}{x - 2}-\frac{x - 2}{x - 2}$。
根据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，分子相减，可得$\frac{x + 1}{x - 2}-\frac{x - 2}{x - 2}=\frac{(x + 1)-(x - 2)}{x - 2}$。
去括号得$\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}=\frac{3}{x - 2}$。
**化简$\frac{x^{2} - 2x}{x^{2} - 4x + 4}$：**
对分子$x^{2} - 2x$提取公因式$x$，可得$x^{2} - 2x = x(x - 2)$；
对分母$x^{2} - 4x + 4$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$x^{2} - 4x + 4=(x - 2)^2$。
所以$\frac{x^{2} - 2x}{x^{2} - 4x + 4}=\frac{x(x - 2)}{(x - 2)^2}$，约分可得$\frac{x}{x - 2}$。
**计算$(\frac{x + 1}{x - 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 2x}{x^{2} - 4x + 4}$：**
将前面化简的结果代入原式，可得$\frac{3}{x - 2} \div \frac{x}{x - 2}$。
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，则$\frac{3}{x - 2} \div \frac{x}{x - 2}=\frac{3}{x - 2} \times \frac{x - 2}{x}$，约分可得$\frac{3}{x}$。
- **步骤二：代入求值**
将$x = \sqrt{3}$代入$\frac{3}{x}$，可得$\frac{3}{\sqrt{3}}$，分母有理化，分子分母同时乘以$\sqrt{3}$，得到$\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。
【答案】：$\sqrt{3}$
本题可先对原式进行化简，再将$x = \sqrt{3}$代入化简后的式子求值。
- **步骤一：化简原式**
**化简$(\frac{x + 1}{x - 2} - 1)$：**
对$\frac{x + 1}{x - 2} - 1$进行通分，$1$可化为$\frac{x - 2}{x - 2}$，则$\frac{x + 1}{x - 2} - 1=\frac{x + 1}{x - 2}-\frac{x - 2}{x - 2}$。
根据同分母分式的减法法则：同分母的分式相减，分母不变，分子相减，可得$\frac{x + 1}{x - 2}-\frac{x - 2}{x - 2}=\frac{(x + 1)-(x - 2)}{x - 2}$。
去括号得$\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}=\frac{3}{x - 2}$。
**化简$\frac{x^{2} - 2x}{x^{2} - 4x + 4}$：**
对分子$x^{2} - 2x$提取公因式$x$，可得$x^{2} - 2x = x(x - 2)$；
对分母$x^{2} - 4x + 4$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$x^{2} - 4x + 4=(x - 2)^2$。
所以$\frac{x^{2} - 2x}{x^{2} - 4x + 4}=\frac{x(x - 2)}{(x - 2)^2}$，约分可得$\frac{x}{x - 2}$。
**计算$(\frac{x + 1}{x - 2} - 1) \div \frac{x^{2} - 2x}{x^{2} - 4x + 4}$：**
将前面化简的结果代入原式，可得$\frac{3}{x - 2} \div \frac{x}{x - 2}$。
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，则$\frac{3}{x - 2} \div \frac{x}{x - 2}=\frac{3}{x - 2} \times \frac{x - 2}{x}$，约分可得$\frac{3}{x}$。
- **步骤二：代入求值**
将$x = \sqrt{3}$代入$\frac{3}{x}$，可得$\frac{3}{\sqrt{3}}$，分母有理化，分子分母同时乘以$\sqrt{3}$，得到$\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。
【答案】：$\sqrt{3}$
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