《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学北师大版》

2. 如图1 - 4，M，N分别是正方形ABCD边DC，AB的中点，分别以AE，BF为折痕，使点D，C落在MN上的点G处，则△ABG是______三角形.

答案： 等边

3. 已知直线与x轴交于点A(4, 0)，与y轴交于点B(0, 3).若在x轴上有一点P，使△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为______.

答案： 1. 首先，根据两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，求出$AB$的长度：
已知$A(4,0)$，$B(0,3)$，则$AB=\sqrt{(4 - 0)^2+(0 - 3)^2}=\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$。
2. 然后分三种情况讨论：
情况一：当$AB = AP$时**：
设$P(x,0)$，因为$A(4,0)$，$AB = 5$，则$\vert x - 4\vert=5$。
当$x−4 = 5$时，$x=9$，此时$P(9,0)$；当$x - 4=-5$时，$x=-1$，此时$P(-1,0)$。
情况二：当$AB = BP$时**：
设$P(x,0)$，$B(0,3)$，由$BP = AB = 5$，根据两点间距离公式$\sqrt{(x - 0)^2+(0 - 3)^2}=5$，即$x^{2}+9 = 25$。
则$x^{2}=16$，解得$x = 4$（舍去，与$A$点重合）或$x=-4$，此时$P(-4,0)$。
情况三：当$AP = BP$时**：
设$P(x,0)$，$A(4,0)$，$B(0,3)$，根据$AP^{2}=BP^{2}$，由两点间距离公式可得$(x - 4)^2=(x - 0)^2+(0 - 3)^2$。
展开得$x^{2}-8x + 16=x^{2}+9$。
移项得$x^{2}-8x+16-(x^{2}+9)=0$，即$-8x+7 = 0$。
解得$x=\frac{7}{8}$，此时$P(\frac{7}{8},0)$。
所以符合条件的点$P$的坐标为$(-1,0)$，$(9,0)$，$(-4,0)$，$(\frac{7}{8},0)$。

4. 如图1 - 5，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 10 cm，BC = 8 cm.动点D从点A出发，以2 cm/s的速度沿射线AC运动，求点D在运动中使△ABD为等腰三角形的所有时间t.

答案： 【解析】：
- 首先，根据勾股定理求出$AC$的长度：
已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 10cm$，$BC = 8cm$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6cm$。
- 然后分三种情况讨论：
情况一：当$AB = AD$时：
已知$AB = 10cm$，点$D$的速度是$2cm/s$，根据$t=\frac{s}{v}$，此时$AD = 10cm$，则$t=\frac{AD}{2}=\frac{10}{2}=5s$。
情况二：当$BA = BD$时：
因为$BA = BD$，$BC\perp AD$，所以$AC = CD$（等腰三角形三线合一），$AD=2AC$，$AC = 6cm$，则$AD = 12cm$，根据$t=\frac{s}{v}$，$t=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6s$。
情况三：当$DA = DB$时：
设$AD = BD = 2tcm$，则$CD=(2t - 6)cm$，在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$BD^{2}=CD^{2}+BC^{2}$，即$(2t)^{2}=(2t - 6)^{2}+8^{2}$。
展开式子得$4t^{2}=4t^{2}-24t + 36+64$，
移项可得$24t=36 + 64$，
$24t=100$，
解得$t=\frac{25}{6}s$。
【答案】：$5s$、$6s$、$\frac{25}{6}s$

1. 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A. 两条直角边对应相等
B. 有两条边对应相等
C. 一条边和一锐角对应相等
D. 一条边和一个角对应相等

答案： D

2. 如图1 - 6，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD = 4 cm，CE = 3 cm，则DE = ______ cm.

答案： 【解析】：
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle CAE = 90^{\circ}$。
又因为$BD\perp DE$，$CE\perp DE$，所以$\angle BDA=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle ABD = 90^{\circ}$，则$\angle ABD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，$\begin{cases}\angle BDA=\angle AEC\\\angle ABD=\angle CAE\\AB = AC\end{cases}$，所以$\triangle ABD\cong\triangle CAE(AAS)$。
所以$AD = CE = 3cm$，$AE = BD = 4cm$。
则$DE=AD + AE=3 + 4 = 7cm$。
【答案】：$7$

3. 如图1 - 7，∠B = ∠D = 90°，BC = DC，∠1 = 40°，则∠2的度数为______.

答案： 【解析】：在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle ADC$中，$\begin{cases}BC = DC\\AC = AC\end{cases}$，根据“斜边、直角边”定理可判定$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ADC$，全等三角形对应角相等，所以$\angle 1=\angle CAD = 40^{\circ}$。因为$\angle D = 90^{\circ}$，在$\triangle ADC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle 2=180^{\circ}-\angle D-\angle CAD=180^{\circ}-90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$。
【答案】：$50^{\circ}$

4. 如图1 - 8，∠A = ∠D = 90°，再添加一个条件______，即可使Rt△ABC≌Rt△DCB，理由是______.

答案： 1. 首先明确直角三角形全等的判定定理：
对于$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DCB$，已知$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$，$BC$是公共边（即$BC = CB$）。
直角三角形全等的判定定理有$HL$（斜边 - 直角边）、$SAS$（边角边）、$ASA$（角边角）、$AAS$（角角边）。
2. 然后根据判定定理添加条件：
若用$HL$定理：
因为$HL$定理是指斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，已知$BC$是斜边，所以添加$AB = DC$。
理由是：在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DCB$中，$\left\{\begin{array}{l}BC = CB\\AB = DC\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DCB(HL)$。
若用$AAS$定理：
因为$\angle A=\angle D$，$BC = CB$，添加$\angle ABC=\angle DCB$。
理由是：在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DCB$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle D\\\angle ABC=\angle DCB\\BC = CB\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DCB(AAS)$。
若用$AAS$定理，也可添加$\angle ACB=\angle DBC$。
理由是：在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DCB$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle D\\\angle ACB=\angle DBC\\BC = CB\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DCB(AAS)$。
故答案可以为：$AB = DC$，$HL$（或$\angle ABC=\angle DCB$，$AAS$或$\angle ACB=\angle DBC$，$AAS$）。