《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学北师大版》

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“所有三角形都是等腰三角形？”大家一定会感到奇怪.那么我们就来证明一下：
任意△ABC，先作出∠A的平分线，它与BC的中垂线（过线段BC的中点作BC的垂线，交BC于点G）交于点D，过点D分别作AB和AC的垂线，垂足分别为E和F，连接BD和CD.
证明过程如下：
∵ △AED和△AFD均为直角三角形，
∴ ∠AED = ∠AFD = 90°.
又∵ ∠EAD = ∠DAF，AD = AD，
∴ △AED≌△AFD(AAS).
∴ ED = FD，AE = AF.
∵ DG是BC的中垂线，
∴ DB = DC.
∵ △DBE和△DCF也是直角三角形，
∴ Rt△DBE≌Rt△DCF(HL).
∴ EB = FC.
由已证的AE = AF可得AE + EB = AF + FC，
即AB = AC.这就说明△ABC是等腰三角形.
嘿，这就奇怪了？为什么会有矛盾呢？

答案： 【解析】：该证明过程的错误在于默认了点$D$在$\triangle ABC$内部。实际上，点$D$是$\angle A$的平分线与$BC$中垂线的交点，当$\triangle ABC$不是等腰三角形时，点$D$是在$\triangle ABC$外部的。此时，虽然依然有$AE = AF$，$EB = FC$，但线段之间的关系就不是$AE + EB = AF + FC$了，而是$AB=AE - EB$，$AC = AF - FC$，所以不能得出$AB = AC$的结论。
【答案】：证明过程错误在于默认点$D$在$\triangle ABC$内部，当$\triangle ABC$非等腰三角形时，点$D$在$\triangle ABC$外部，不能得出$AB = AC$。