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2. 下列各选项中分解因式正确的是（）
A. $x^{2}-1=(x-1)^{2}$
B. $a^{3}-2a^{2}+a=a^{2}(a-2)$
C. $-2y^{2}+4y=-2y(y+2)$
D. $m^{2}n-2mn+n=n(m-1)^{2}$
A. $x^{2}-1=(x-1)^{2}$
B. $a^{3}-2a^{2}+a=a^{2}(a-2)$
C. $-2y^{2}+4y=-2y(y+2)$
D. $m^{2}n-2mn+n=n(m-1)^{2}$
答案：
D
3. 分解因式$2mn^{2}-4mn+2m$的结果是____.
答案：
$2m(n - 1)^{2}$
4. 把下列各式分解因式：
(1)$a^{2}(x-1)+b^{2}(1-x)$；
(2)$2x^{2}-2x+\frac{1}{2}$；
(3)$(a-b)^{2}+18(a-b)+81$.
(1)$a^{2}(x-1)+b^{2}(1-x)$；
(2)$2x^{2}-2x+\frac{1}{2}$；
(3)$(a-b)^{2}+18(a-b)+81$.
答案：
【解析】：
(1)
首先对原式进行变形，$a^{2}(x - 1)+b^{2}(1 - x)=a^{2}(x - 1)-b^{2}(x - 1)$。
然后提取公因式$(x - 1)$，得到$(x - 1)(a^{2}-b^{2})$。
再根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m = a$，$n = b$，进一步分解为$(x - 1)(a + b)(a - b)$。
(2)
先提取公因式$2$，$2x^{2}-2x+\frac{1}{2}=2\left(x^{2}-x+\frac{1}{4}\right)$。
再根据完全平方公式$m^{2}-2mn + n^{2}=(m - n)^{2}$，这里$m=x$，$n=\frac{1}{2}$，则$x^{2}-x+\frac{1}{4}=x^{2}-2\times x\times\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}$，所以原式分解因式的结果为$2\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}$。
(3)
把$(a - b)$看成一个整体，设$m=a - b$，则原式变为$m^{2}+18m + 81$。
根据完全平方公式$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}$，这里$m$不变，$n = 9$，$m^{2}+18m + 81=m^{2}+2\times m\times9+9^{2}=(m + 9)^{2}$。
再把$m=a - b$代回，得到$(a - b + 9)^{2}$。
【答案】：
(1)$(x - 1)(a + b)(a - b)$；
(2)$2\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}$；
(3)$(a - b + 9)^{2}$
(1)
首先对原式进行变形，$a^{2}(x - 1)+b^{2}(1 - x)=a^{2}(x - 1)-b^{2}(x - 1)$。
然后提取公因式$(x - 1)$，得到$(x - 1)(a^{2}-b^{2})$。
再根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m = a$，$n = b$，进一步分解为$(x - 1)(a + b)(a - b)$。
(2)
先提取公因式$2$，$2x^{2}-2x+\frac{1}{2}=2\left(x^{2}-x+\frac{1}{4}\right)$。
再根据完全平方公式$m^{2}-2mn + n^{2}=(m - n)^{2}$，这里$m=x$，$n=\frac{1}{2}$，则$x^{2}-x+\frac{1}{4}=x^{2}-2\times x\times\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}$，所以原式分解因式的结果为$2\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}$。
(3)
把$(a - b)$看成一个整体，设$m=a - b$，则原式变为$m^{2}+18m + 81$。
根据完全平方公式$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}$，这里$m$不变，$n = 9$，$m^{2}+18m + 81=m^{2}+2\times m\times9+9^{2}=(m + 9)^{2}$。
再把$m=a - b$代回，得到$(a - b + 9)^{2}$。
【答案】：
(1)$(x - 1)(a + b)(a - b)$；
(2)$2\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}$；
(3)$(a - b + 9)^{2}$
5. 有一张边长为$a$厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加$b$厘米，木工师傅设计了如图4-1所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$. 对于方案一，小明是这样验证的：$a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$.
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.
小明发现这三种方案都能验证公式：$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$. 对于方案一，小明是这样验证的：$a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$.
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.
答案：
【解析】：
方案二：
大正方形面积可以看作是由一个边长为$a$的正方形，一个长为$a$宽为$b$的长方形，一个长为$b$宽为$a$的长方形和一个边长为$b$的正方形组成。
即$a^{2}+ab + b\times a+b^{2}$，其中$b\times a = ab$，所以$a^{2}+ab+ab + b^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$。
而大正方形边长为$(a + b)$，其面积为$(a + b)^{2}$，所以$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
方案三：
大正方形面积可以看作是由一个边长为$a$的正方形和一个长为$(a + b)$宽为$b$的长方形组成。
边长为$a$的正方形面积是$a^{2}$，长为$(a + b)$宽为$b$的长方形面积是$b(a + b)=ab + b^{2}$。
那么总面积为$a^{2}+ab + b^{2}$，又因为大正方形边长为$(a + b)$，其面积为$(a + b)^{2}$。
把长为$(a + b)$宽为$b$的长方形拆分为一个长为$a$宽为$b$的长方形和一个边长为$b$的正方形，就有$a^{2}+ab+ab + b^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，所以$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
【答案】：
方案二：$a^{2}+ab+ab + b^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
方案三：$a^{2}+b(a + b)=a^{2}+ab + b^{2}=a^{2}+ab+ab + b^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
方案二：
大正方形面积可以看作是由一个边长为$a$的正方形，一个长为$a$宽为$b$的长方形，一个长为$b$宽为$a$的长方形和一个边长为$b$的正方形组成。
即$a^{2}+ab + b\times a+b^{2}$，其中$b\times a = ab$，所以$a^{2}+ab+ab + b^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$。
而大正方形边长为$(a + b)$，其面积为$(a + b)^{2}$，所以$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
方案三：
大正方形面积可以看作是由一个边长为$a$的正方形和一个长为$(a + b)$宽为$b$的长方形组成。
边长为$a$的正方形面积是$a^{2}$，长为$(a + b)$宽为$b$的长方形面积是$b(a + b)=ab + b^{2}$。
那么总面积为$a^{2}+ab + b^{2}$，又因为大正方形边长为$(a + b)$，其面积为$(a + b)^{2}$。
把长为$(a + b)$宽为$b$的长方形拆分为一个长为$a$宽为$b$的长方形和一个边长为$b$的正方形，就有$a^{2}+ab+ab + b^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，所以$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
【答案】：
方案二：$a^{2}+ab+ab + b^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
方案三：$a^{2}+b(a + b)=a^{2}+ab + b^{2}=a^{2}+ab+ab + b^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
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