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4. 如图1 - 20，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC = 125°，则∠ABC的度数为______.
答案：
【解析】：
1. 首先求$\angle COD$的度数：
因为$\angle AOC = 125^{\circ}$，$\angle AOC+\angle COD = 180^{\circ}$（邻补角定义），所以$\angle COD=180^{\circ}-\angle AOC = 180 - 125^{\circ}=55^{\circ}$。
2. 然后在$Rt\triangle ODC$中求$\angle C$的度数：
由于$AD\perp BC$，即$\angle ODC = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ODC$中，根据直角三角形两锐角互余，$\angle C=90^{\circ}-\angle COD$。
把$\angle COD = 55^{\circ}$代入，得$\angle C=90 - 55^{\circ}=35^{\circ}$。
3. 接着证明$OB = OC$：
因为$D$为$BC$中点，$AD\perp BC$，所以$AD$是$BC$的垂直平分线（线段垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线）。
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$OB = OC$。
再根据等边对等角，$\angle OBC=\angle C = 35^{\circ}$。
4. 最后求$\angle ABC$的度数：
因为$BO$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABC = 2\angle OBC$（角平分线定义）。
把$\angle OBC = 35^{\circ}$代入，得$\angle ABC=2\times35^{\circ}=70^{\circ}$。
【答案】：$70^{\circ}$
1. 首先求$\angle COD$的度数：
因为$\angle AOC = 125^{\circ}$，$\angle AOC+\angle COD = 180^{\circ}$（邻补角定义），所以$\angle COD=180^{\circ}-\angle AOC = 180 - 125^{\circ}=55^{\circ}$。
2. 然后在$Rt\triangle ODC$中求$\angle C$的度数：
由于$AD\perp BC$，即$\angle ODC = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ODC$中，根据直角三角形两锐角互余，$\angle C=90^{\circ}-\angle COD$。
把$\angle COD = 55^{\circ}$代入，得$\angle C=90 - 55^{\circ}=35^{\circ}$。
3. 接着证明$OB = OC$：
因为$D$为$BC$中点，$AD\perp BC$，所以$AD$是$BC$的垂直平分线（线段垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线）。
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$OB = OC$。
再根据等边对等角，$\angle OBC=\angle C = 35^{\circ}$。
4. 最后求$\angle ABC$的度数：
因为$BO$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABC = 2\angle OBC$（角平分线定义）。
把$\angle OBC = 35^{\circ}$代入，得$\angle ABC=2\times35^{\circ}=70^{\circ}$。
【答案】：$70^{\circ}$
5. 如图1 - 21，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF//AC交CE的延长线于点F，连接DF，求证：AB垂直平分DF.
答案：
【解析】：
- 首先证明$\triangle ACD\cong\triangle CBF$：
因为$BF// AC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle CBF+\angle ACB = 180^{\circ}$，则$\angle CBF = 90^{\circ}$。
又因为$CE\perp AD$，所以$\angle CAD+\angle ACE=\angle BCF+\angle ACE = 90^{\circ}$，那么$\angle CAD=\angle BCF$。
已知$AC = BC$，根据$ASA$（$\angle CAD=\angle BCF$，$AC = BC$，$\angle ACD=\angle CBF = 90^{\circ}$）可得$\triangle ACD\cong\triangle CBF$。
由全等可知$CD = BF$，因为$D$为$BC$中点，所以$CD = BD$，进而$BD = BF$。
- 然后求$\angle ABC$和$\angle ABF$的度数：
因为$AC = BC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC = 45^{\circ}$。
又因为$\angle CBF = 90^{\circ}$，所以$\angle ABF=\angle CBF-\angle ABC = 45^{\circ}$，即$\angle ABC=\angle ABF$。
- 最后根据等腰三角形三线合一证明$AB$垂直平分$DF$：
由于$BD = BF$，$\angle ABC=\angle ABF$，根据等腰三角形三线合一（等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合），可知$AB$是$\angle DBF$的平分线，所以$AB$垂直平分$DF$。
【答案】：
由上述推理可知$AB$垂直平分$DF$，此题得证。
- 首先证明$\triangle ACD\cong\triangle CBF$：
因为$BF// AC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle CBF+\angle ACB = 180^{\circ}$，则$\angle CBF = 90^{\circ}$。
又因为$CE\perp AD$，所以$\angle CAD+\angle ACE=\angle BCF+\angle ACE = 90^{\circ}$，那么$\angle CAD=\angle BCF$。
已知$AC = BC$，根据$ASA$（$\angle CAD=\angle BCF$，$AC = BC$，$\angle ACD=\angle CBF = 90^{\circ}$）可得$\triangle ACD\cong\triangle CBF$。
由全等可知$CD = BF$，因为$D$为$BC$中点，所以$CD = BD$，进而$BD = BF$。
- 然后求$\angle ABC$和$\angle ABF$的度数：
因为$AC = BC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC = 45^{\circ}$。
又因为$\angle CBF = 90^{\circ}$，所以$\angle ABF=\angle CBF-\angle ABC = 45^{\circ}$，即$\angle ABC=\angle ABF$。
- 最后根据等腰三角形三线合一证明$AB$垂直平分$DF$：
由于$BD = BF$，$\angle ABC=\angle ABF$，根据等腰三角形三线合一（等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合），可知$AB$是$\angle DBF$的平分线，所以$AB$垂直平分$DF$。
【答案】：
由上述推理可知$AB$垂直平分$DF$，此题得证。
1. 如图1 - 22，∠AOB = 60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D；分别以C，D为圆心，以大于$\frac{1}{2}$CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM = 6，则点M到OB的距离为（ ）
A. 6
B. 2
C. 3
D. $3\sqrt{3}$
A. 6
B. 2
C. 3
D. $3\sqrt{3}$
答案：
C
2. 如图1 - 23，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，AC = 3，AD平分∠BAC，交BC于点D，则点D到AB的距离是______.
答案：
1. 首先求$\angle BAC$的度数：
在$\triangle ABC$中，因为$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle BAC+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，所以$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C$。
把$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$代入可得$\angle BAC = 60^{\circ}$。
2. 然后求$\angle BAD$的度数：
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。
则$\angle BAD=\frac{1}{2}\times60^{\circ}=30^{\circ}$。
3. 接着求$CD$的长度：
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，因为$AD$是角平分线，$\angle C = 90^{\circ}$（$DC\perp AC$），根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DC$。
在$\triangle ABC$中，$\angle B = 30^{\circ}$，$AC = 3$，根据$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，设$BC=x$，$AB = 2AC=6$，再根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，即$x=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
在$\triangle ADC$中，$\angle CAD = 30^{\circ}$，$\tan\angle CAD=\frac{CD}{AC}$，又因为$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$AC = 3$，由$\tan\angle CAD=\frac{CD}{AC}$可得$CD = AC\tan\angle CAD$。
把$AC = 3$，$\tan\angle CAD=\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$代入得$CD = 3\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。
因为$DE = DC$，所以$DE=\sqrt{3}$。
所以点$D$到$AB$的距离是$\sqrt{3}$。
在$\triangle ABC$中，因为$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle BAC+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，所以$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C$。
把$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$代入可得$\angle BAC = 60^{\circ}$。
2. 然后求$\angle BAD$的度数：
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。
则$\angle BAD=\frac{1}{2}\times60^{\circ}=30^{\circ}$。
3. 接着求$CD$的长度：
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，因为$AD$是角平分线，$\angle C = 90^{\circ}$（$DC\perp AC$），根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = DC$。
在$\triangle ABC$中，$\angle B = 30^{\circ}$，$AC = 3$，根据$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，设$BC=x$，$AB = 2AC=6$，再根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，即$x=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
在$\triangle ADC$中，$\angle CAD = 30^{\circ}$，$\tan\angle CAD=\frac{CD}{AC}$，又因为$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$AC = 3$，由$\tan\angle CAD=\frac{CD}{AC}$可得$CD = AC\tan\angle CAD$。
把$AC = 3$，$\tan\angle CAD=\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$代入得$CD = 3\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$。
因为$DE = DC$，所以$DE=\sqrt{3}$。
所以点$D$到$AB$的距离是$\sqrt{3}$。
3. 如图1 - 24，在△ABC中，∠ABC = 110°，∠ACB = 40°，CE是∠ACB的平分线，D是AC上一点，若∠CBD = 40°，则∠CED的度数为______.
答案：
【解析】：
过点$E$作$EF\perp CB$交$CB$的延长线于$F$，$EG\perp BD$于$G$，$EH\perp AC$于$H$。
- **步骤一：求$\angle ABD$的度数**
已知$\angle ABC = 110^{\circ}$，$\angle CBD = 40^{\circ}$，则$\angle ABD=\angle ABC - \angle CBD=110^{\circ}- 40^{\circ}=70^{\circ}$。
- **步骤二：求$\angle BDC$的度数**
在$\triangle BCD$中，$\angle ACB = 40^{\circ}$，$\angle CBD = 40^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BDC = 180^{\circ}-\angle CBD-\angle ACB=180^{\circ}-40^{\circ}-40^{\circ}=100^{\circ}$，那么$\angle ADB = 180^{\circ}-\angle BDC = 80^{\circ}$。
- **步骤三：利用角平分线性质证明$EF = EG = EH$**
因为$CE$是$\angle ACB$的平分线，$EF\perp CB$，$EH\perp AC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$EF = EH$。
又因为$\angle ABC = 110^{\circ}$，$\angle ABD = 70^{\circ}$，所以$\angle EBF = 70^{\circ}$，$\angle EBF=\angle ABD$，$EF\perp CB$，$EG\perp BD$，所以$EF = EG$，从而$EG = EH$。
- **步骤四：证明$DE$平分$\angle ADB$**
由于$EG\perp BD$，$EH\perp AC$，且$EG = EH$，根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以$DE$平分$\angle ADB$。
则$\angle ADE=\frac{1}{2}\angle ADB=\frac{1}{2}\times80^{\circ}=40^{\circ}$。
- **步骤五：求$\angle ECD$的度数**
因为$CE$是$\angle ACB$的平分线，$\angle ACB = 40^{\circ}$，所以$\angle ECD=\frac{1}{2}\angle ACB = 20^{\circ}$。
- **步骤六：求$\angle CED$的度数**
根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，在$\triangle CDE$中，$\angle CED=\angle ADE-\angle ECD=40^{\circ}-20^{\circ}=20^{\circ}$。
【答案】：$20^{\circ}$
过点$E$作$EF\perp CB$交$CB$的延长线于$F$，$EG\perp BD$于$G$，$EH\perp AC$于$H$。
- **步骤一：求$\angle ABD$的度数**
已知$\angle ABC = 110^{\circ}$，$\angle CBD = 40^{\circ}$，则$\angle ABD=\angle ABC - \angle CBD=110^{\circ}- 40^{\circ}=70^{\circ}$。
- **步骤二：求$\angle BDC$的度数**
在$\triangle BCD$中，$\angle ACB = 40^{\circ}$，$\angle CBD = 40^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BDC = 180^{\circ}-\angle CBD-\angle ACB=180^{\circ}-40^{\circ}-40^{\circ}=100^{\circ}$，那么$\angle ADB = 180^{\circ}-\angle BDC = 80^{\circ}$。
- **步骤三：利用角平分线性质证明$EF = EG = EH$**
因为$CE$是$\angle ACB$的平分线，$EF\perp CB$，$EH\perp AC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$EF = EH$。
又因为$\angle ABC = 110^{\circ}$，$\angle ABD = 70^{\circ}$，所以$\angle EBF = 70^{\circ}$，$\angle EBF=\angle ABD$，$EF\perp CB$，$EG\perp BD$，所以$EF = EG$，从而$EG = EH$。
- **步骤四：证明$DE$平分$\angle ADB$**
由于$EG\perp BD$，$EH\perp AC$，且$EG = EH$，根据角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以$DE$平分$\angle ADB$。
则$\angle ADE=\frac{1}{2}\angle ADB=\frac{1}{2}\times80^{\circ}=40^{\circ}$。
- **步骤五：求$\angle ECD$的度数**
因为$CE$是$\angle ACB$的平分线，$\angle ACB = 40^{\circ}$，所以$\angle ECD=\frac{1}{2}\angle ACB = 20^{\circ}$。
- **步骤六：求$\angle CED$的度数**
根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，在$\triangle CDE$中，$\angle CED=\angle ADE-\angle ECD=40^{\circ}-20^{\circ}=20^{\circ}$。
【答案】：$20^{\circ}$
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