《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学北师大版》

2. 将$(a-1)^{2}-1$分解因式，结果正确的是（）
A. $a(a-1)$
B. $a(a-2)$
C. $(a-2)(a-1)$
D. $(a-2)(a+1)$

答案： B

3. 将$a^{3}b-ab$进行因式分解，正确的是（）
A. $a(a^{2}b-b)$
B. $ab(a-1)^{2}$
C. $ab(a+1)(a-1)$
D. $ab(a^{2}-1)$

答案： C

4. 已知$x^{2}-y^{2}=14$，$x-y=2$，则$x+y$等于（）
A. 6
B. 7
C. $\sqrt{6}$
D. $\sqrt{7}$

答案： B

5. 化简$\frac{2025^{3}-2×2025^{2}-2023}{2025^{3}+2025^{2}-2026}$，结果是（）
A. $\frac{2023}{2026}$
B. $\frac{2023}{2025}$
C. $\frac{2025}{2026}$
D. $\frac{2024}{2025}$

答案： A

6. 若关于$x$的多项式$x^{2}-px-6$含有因式$x-3$，则实数$p$的值为____.

答案： $1$

7. 若$a+b=2$，$ab=-3$，则代数式$a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为____.

答案： $-12$

8. 在实数范围内因式分解：$x^{5}-4x=$____.

答案： $x(x^{2}+2)(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})$

9. 边长为$a$，$b$的长方形，它的周长为14，面积为10，则$a^{2}b+ab^{2}$的值为____.

答案： $70$

10. 已知$\frac{1}{4}m^{2}+\frac{1}{4}n^{2}=n-m-2$，则$\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$的值为____.

答案： $-1$

11. 分解因式：
(1)$a^{3}b+4a^{2}b+4ab$；
(2)$3a^{4}-3b^{4}$.

答案： 【解析】：
(1) 首先，观察式子$a^{3}b + 4a^{2}b + 4ab$，每一项都含有公因式$ab$，先提取公因式$ab$，得到$ab(a^{2}+4a + 4)$。
然后，对于$a^{2}+4a + 4$，它是一个完全平方公式$(m + n)^2=m^{2}+2mn + n^{2}$的形式，这里$m = a$，$n = 2$，即$a^{2}+4a + 4=(a + 2)^{2}$。
所以$a^{3}b + 4a^{2}b + 4ab=ab(a + 2)^{2}$。
(2) 对于式子$3a^{4}-3b^{4}$，先提取公因式$3$，得到$3(a^{4}-b^{4})$。
接着，$a^{4}-b^{4}$可以利用平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m=a^{2}$，$n = b^{2}$，则$a^{4}-b^{4}=(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})$。
而$a^{2}-b^{2}$还可以继续利用平方差公式分解为$(a + b)(a - b)$。
所以$3a^{4}-3b^{4}=3(a^{2}+b^{2})(a + b)(a - b)$。
【答案】：
(1)$ab(a + 2)^{2}$；
(2)$3(a^{2}+b^{2})(a + b)(a - b)$