《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学北师大版》

13. 某工厂为了扩大生产,决定购买6台机器用于生产零件,现有甲、乙两种机器可供选择. 已知甲、乙两种机器的购买单价及每台日产零件个数如下表所示:
| |甲型机器|乙型机器|
|----|----|----|
|购买单价(万元)|7|5|
|日产零件(个)|106|60|
(1)如果工厂购买机器的预算资金不超过34万元,那么你认为该工厂有哪几种购买方案?
(2)在(1)的条件下,如果要求该工厂购进的6台机器的日产量能力不能低于380个,那么为了节约资金,应该选择哪种方案?

答案： $(1)$求购买方案
设购买甲型机器$x$台，则购买乙型机器$(6 - x)$台。
- **根据预算资金不超过$34$万元列不等式：
已知甲型机器购买单价$7$万元，乙型机器购买单价$5$万元，可列不等式$7x + 5(6 - x)\leq34$。
解不等式$7x + 5(6 - x)\leq34$：
$\begin{aligned}7x + 30 - 5x&\leq34\\2x&\leq34 - 30\\2x&\leq4\\x&\leq2\end{aligned}$
因为$x$为机器台数，所以$x$是非负整数，即$x = 0$，$1$，$2$。
当$x = 0$时，$6 - x = 6 - 0 = 6$，即购买甲型机器$0$台，乙型机器$6$台；
当$x = 1$时，$6 - x = 6 - 1 = 5$，即购买甲型机器$1$台，乙型机器$5$台；
当$x = 2$时，$6 - x = 6 - 2 = 4$，即购买甲型机器$2$台，乙型机器$4$台。
所以有三种购买方案：
方案一：购买甲型机器$0$台，乙型机器$6$台；
方案二：购买甲型机器$1$台，乙型机器$5$台；
方案三：购买甲型机器$2$台，乙型机器$4$台。
$(2)$选择方案
根据日产量能力不能低于$380$个列不等式：
已知甲型机器日产零件$106$个，乙型机器日产零件$60$个，可列不等式$106x + 60(6 - x)\geq380$。
解不等式$106x + 60(6 - x)\geq380$：
$\begin{aligned}106x + 360 - 60x&\geq380\\46x&\geq380 - 360\\46x&\geq20\\x&\geq\frac{10}{23}\end{aligned}$
结合$(1)$中$x\leq2$且$x$为非负整数，所以$x = 1$或$x = 2$。
当$x = 1$时，购买资金为$7\times1 + 5\times5 = 7 + 25 = 32$（万元）；
当$x = 2$时，购买资金为$7\times2 + 5\times4 = 14 + 20 = 34$（万元）。
因为$32\lt34$，所以为了节约资金，应该选择购买甲型机器$1$台，乙型机器$5$台的方案。
综上，$(1)$有三种购买方案：方案一购买甲型机器$0$台，乙型机器$6$台；方案二购买甲型机器$1$台，乙型机器$5$台；方案三购买甲型机器$2$台，乙型机器$4$台。$(2)$应该选择购买甲型机器$1$台，乙型机器$5$台的方案。

1. 一元一次不等式组$\begin{cases}2x + 2 ＞ 0, \\x + 1 ≤ 3\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是图2 - 7中的( )

答案： A

2. 若关于x的不等式组$\begin{cases}x - m ＜ 0, \\7 - 2x ≤ 1\end{cases}$的整数解共有4个,则m的取值范围是( )
A. $6 ＜ m ＜ 7$
B. $6 ≤ m ＜ 7$
C. $6 ≤ m ≤ 7$
D. $6 ＜ m ≤ 7$

答案： D

3. 某种商品进价为140元,出售时标价为220元,由于销售情况不好,商品准备降价出售,但要保证利润率不低于10%,则至多可打( )
A. 6折
B. 7折
C. 8折
D. 9折

答案： B

4. 当$0 ＜ x ＜ 1$时,$x^2$,$x$,$\frac{1}{x}$的大小顺序是( )
A. $x^2 ＜ x ＜ \frac{1}{x}$
B. $\frac{1}{x} ＜ x ＜ x^2$
C. $\frac{1}{x} ＜ x^2 ＜ x$
D. $x ＜ x^2 ＜ \frac{1}{x}$

答案： A