搜索
4. 如图1 - 27，△ABC是等腰三角形，AB = AC，∠BAC = 45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD'，且点D'，D，B三点在同一直线上，则∠ABD的度数是（ ）
A. 22.5°
B. 45°
C. 50°
D. 75°
A. 22.5°
B. 45°
C. 50°
D. 75°
答案：
A
5. 如图1 - 28，A，B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
答案：
D
6. 如图1 - 29，在△ABC中，AB = AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过D点，且EF//BC，图中共有______个等腰三角形.
答案：
$5$
7. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A = 80°，则它的特征值k = ______.
答案：
$\frac{8}{5}$或$\frac{1}{4}$
8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是______.
答案：
【解析】：本题需要分情况讨论等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出底边上的高。
- **当等腰三角形为锐角三角形时：**
已知一腰上的高与另一腰的夹角为$30^{\circ}$，因为高与腰形成一个直角三角形，其中一个角为$30^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可求出顶角为$90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
因为该三角形是等腰三角形且有一个角为$60^{\circ}$，所以这个等腰三角形是等边三角形，即三边都为$6$。
根据等边三角形三线合一的性质，底边上的高将底边平分，再根据勾股定理可求出底边上的高为$\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36 - 9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
- **当等腰三角形为钝角三角形时：**
已知一腰上的高与另一腰的夹角为$30^{\circ}$，因为高在三角形外部，所以此时顶角的外角为$90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，根据邻补角的性质，可求出顶角为$180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$。
因为等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为$180^{\circ}$，所以底角为$(180^{\circ}-120^{\circ})\div2 = 30^{\circ}$。
根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，腰长为$6$，则底边上的高为$\dfrac{1}{2}\times6 = 3$。
综上，其底边上的高是$3$或$3\sqrt{3}$。
【答案】：$3$或$3\sqrt{3}$
- **当等腰三角形为锐角三角形时：**
已知一腰上的高与另一腰的夹角为$30^{\circ}$，因为高与腰形成一个直角三角形，其中一个角为$30^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，可求出顶角为$90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
因为该三角形是等腰三角形且有一个角为$60^{\circ}$，所以这个等腰三角形是等边三角形，即三边都为$6$。
根据等边三角形三线合一的性质，底边上的高将底边平分，再根据勾股定理可求出底边上的高为$\sqrt{6^{2}-3^{2}}=\sqrt{36 - 9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
- **当等腰三角形为钝角三角形时：**
已知一腰上的高与另一腰的夹角为$30^{\circ}$，因为高在三角形外部，所以此时顶角的外角为$90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，根据邻补角的性质，可求出顶角为$180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$。
因为等腰三角形两底角相等，且三角形内角和为$180^{\circ}$，所以底角为$(180^{\circ}-120^{\circ})\div2 = 30^{\circ}$。
根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，腰长为$6$，则底边上的高为$\dfrac{1}{2}\times6 = 3$。
综上，其底边上的高是$3$或$3\sqrt{3}$。
【答案】：$3$或$3\sqrt{3}$
9. 如图1 - 30，在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD = 2 cm，则AC = ______ cm.
答案：
1. 首先求$\angle ABC$的度数：
在$\triangle ABC$中，因为$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，所以$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A - \angle C$。
把$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$代入可得$\angle ABC = 60^{\circ}$。
2. 然后求$\angle ABD$和$\angle DBC$的度数：
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC$。
则$\angle ABD=\angle DBC = 30^{\circ}$。
3. 接着求$BD$的长度：
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle DBC = 30^{\circ}$，根据在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，设$BD=x$，则$CD=\frac{1}{2}BD$（$30^{\circ}$角所对直角边是$CD$，斜边是$BD$）。
已知$CD = 2cm$，由$CD=\frac{1}{2}BD$，可得$BD = 4cm$。
4. 最后求$AD$的长度：
因为$\angle A=\angle ABD = 30^{\circ}$，所以$\triangle ABD$是等腰三角形（等角对等边），则$AD = BD$。
所以$AD = 4cm$。
又因为$AC=AD + CD$，$CD = 2cm$，$AD = 4cm$，所以$AC=4 + 2=6cm$。
故答案为$6$。
在$\triangle ABC$中，因为$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，所以$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A - \angle C$。
把$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$代入可得$\angle ABC = 60^{\circ}$。
2. 然后求$\angle ABD$和$\angle DBC$的度数：
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC$。
则$\angle ABD=\angle DBC = 30^{\circ}$。
3. 接着求$BD$的长度：
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle DBC = 30^{\circ}$，根据在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，设$BD=x$，则$CD=\frac{1}{2}BD$（$30^{\circ}$角所对直角边是$CD$，斜边是$BD$）。
已知$CD = 2cm$，由$CD=\frac{1}{2}BD$，可得$BD = 4cm$。
4. 最后求$AD$的长度：
因为$\angle A=\angle ABD = 30^{\circ}$，所以$\triangle ABD$是等腰三角形（等角对等边），则$AD = BD$。
所以$AD = 4cm$。
又因为$AC=AD + CD$，$CD = 2cm$，$AD = 4cm$，所以$AC=4 + 2=6cm$。
故答案为$6$。
10. 如图1 - 31，在△ABC中，∠A = 70°，DO，EO分别为AB，AC的垂直平分线，则∠BOC的度数为______.
答案：
1. 首先，连接$AO$：
因为$DO$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$OA = OB$，则$\angle OAB=\angle OBA$。
同理，因为$EO$是$AC$的垂直平分线，所以$OA = OC$，则$\angle OAC=\angle OCA$。
2. 然后，求$\angle OBA+\angle OCA$的值：
已知$\angle BAC=\angle OAB + \angle OAC=70^{\circ}$，所以$\angle OBA+\angle OCA=\angle OAB+\angle OAC = 70^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC$，把$\angle BAC = 70^{\circ}$代入可得$\angle ABC+\angle ACB = 180 - 70=110^{\circ}$。
又因为$\angle OBC+\angle OCB=(\angle ABC - \angle OBA)+(\angle ACB-\angle OCA)=(\angle ABC+\angle ACB)-(\angle OBA + \angle OCA)$。
把$\angle ABC+\angle ACB = 110^{\circ}$，$\angle OBA+\angle OCA = 70^{\circ}$代入上式，得$\angle OBC+\angle OCB=110 - 70 = 40^{\circ}$。
3. 最后，求$\angle BOC$的度数：
在$\triangle BOC$中，根据三角形内角和定理$\angle BOC=180^{\circ}-(\angle OBC+\angle OCB)$。
把$\angle OBC+\angle OCB = 40^{\circ}$代入，得$\angle BOC=180 - 40=140^{\circ}$。
所以$\angle BOC$的度数为$140^{\circ}$。
因为$DO$是$AB$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$OA = OB$，则$\angle OAB=\angle OBA$。
同理，因为$EO$是$AC$的垂直平分线，所以$OA = OC$，则$\angle OAC=\angle OCA$。
2. 然后，求$\angle OBA+\angle OCA$的值：
已知$\angle BAC=\angle OAB + \angle OAC=70^{\circ}$，所以$\angle OBA+\angle OCA=\angle OAB+\angle OAC = 70^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC$，把$\angle BAC = 70^{\circ}$代入可得$\angle ABC+\angle ACB = 180 - 70=110^{\circ}$。
又因为$\angle OBC+\angle OCB=(\angle ABC - \angle OBA)+(\angle ACB-\angle OCA)=(\angle ABC+\angle ACB)-(\angle OBA + \angle OCA)$。
把$\angle ABC+\angle ACB = 110^{\circ}$，$\angle OBA+\angle OCA = 70^{\circ}$代入上式，得$\angle OBC+\angle OCB=110 - 70 = 40^{\circ}$。
3. 最后，求$\angle BOC$的度数：
在$\triangle BOC$中，根据三角形内角和定理$\angle BOC=180^{\circ}-(\angle OBC+\angle OCB)$。
把$\angle OBC+\angle OCB = 40^{\circ}$代入，得$\angle BOC=180 - 40=140^{\circ}$。
所以$\angle BOC$的度数为$140^{\circ}$。
查看更多完整答案，请扫码查看
