《2025年暑假作业本大象出版社八年级数学北师大版》

11. 如图1 - 42，在△ABC中，AB = AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：

①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；
②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；
③连接PB，PC.
请观察图形后解答下列问题：
（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是______；
（2）若∠ABC = 70°，求∠BPC的度数.

答案： 【解析】：
（1）因为$AB = AC$，$AM$平分$\angle BAC$，根据等腰三角形三线合一可知$AD$是$BC$的垂直平分线，所以$PB = PC$。
又因为$EF$是$AB$的垂直平分线，所以$PA = PB$，故$PA = PB = PC$。
（2）因为$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB = 70^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-70^{\circ}\times2 = 40^{\circ}$。
因为$AM$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle CAD = 20^{\circ}$。
因为$PA = PB = PC$，所以$\angle ABP=\angle BAP = 20^{\circ}$，$\angle ACP=\angle CAP = 20^{\circ}$。
$\angle PBC=\angle ABC - \angle ABP = 70^{\circ}-20^{\circ}=50^{\circ}$，$\angle PCB=\angle ACB - \angle ACP = 70^{\circ}-20^{\circ}=50^{\circ}$。
在$\triangle BPC$中，$\angle BPC = 180^{\circ}-\angle PBC - \angle PCB = 180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$。
【答案】：
（1）$PA = PB = PC$
（2）$80^{\circ}$

12. 如图1 - 43，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB = ∠ECD = 90°，D为AB边上一点.

（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：2CD² = AD² + DB².

答案： 1. （1）证明$\triangle ACE\cong\triangle BCD$：
因为$\triangle ACB$和$\triangle ECD$都是等腰直角三角形，$\angle ACB=\angle ECD = 90^{\circ}$，
所以$AC = BC$，$EC = DC$，
$\angle ACB-\angle ACD=\angle ECD-\angle ACD$，即$\angle BCD=\angle ACE$。
在$\triangle ACE$和$\triangle BCD$中，
$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACE=\angle BCD\\EC = DC\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ACE\cong\triangle BCD$。
2. （2）证明$2CD^{2}=AD^{2}+DB^{2}$：
因为$\triangle ACB$是等腰直角三角形，所以$\angle B=\angle BAC = 45^{\circ}$。
由（1）知$\triangle ACE\cong\triangle BCD$，所以$\angle CAE=\angle B = 45^{\circ}$，$AE = DB$。
则$\angle DAE=\angle BAC+\angle CAE=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADE$中，根据勾股定理$DE^{2}=AD^{2}+AE^{2}$，又因为$AE = DB$，所以$DE^{2}=AD^{2}+DB^{2}$。
因为$\triangle ECD$是等腰直角三角形，根据勾股定理$DE^{2}=EC^{2}+DC^{2}$，且$EC = DC$，所以$DE^{2}=2CD^{2}$。
所以$2CD^{2}=AD^{2}+DB^{2}$。
综上，（1）已证$\triangle ACE\cong\triangle BCD$；（2）已证$2CD^{2}=AD^{2}+DB^{2}$。