《2025年实验班提优训练暑假衔接版五升六年级数学人教版》

2. 实验班原创 推理意识 糖果店的老板为了促销,将不同种类的糖果按同一标准每种两颗装成一袋进行售卖,一共装了8袋,其中有一袋因为某种水果糖数量不足,因而替换成了2颗巧克力球,这一袋比其他袋略重一些。8袋糖果摆放在一起,老板也忘记了哪一袋是特殊的一袋,于是他将8袋糖果依次编号为①②③④⑤⑥⑦⑧,下面是找特殊那袋的过程,请你圈出括号里的正确答案(依次圈“不平衡”“重的”“⑥”“重的”),并填空:至少称(2)次保证找出特殊的那袋。

答案： 本题可根据天平称重的平衡原理，对不同情况进行分析，从而确定特殊的那袋糖果。
步骤一：分析第一次称重情况
将$8$袋糖果分成$3$份，即$3$袋、$3$袋、$2$袋，把①②③和④⑤⑥分别放在天平两端：
若天平平衡，说明特殊的那袋在⑦⑧中。再称一次⑦和⑧，这次一定不平衡，重的是特殊的。
若天平不平衡，假设④⑤⑥这端重，说明特殊的那袋在④⑤⑥中。再称一次④和⑤：
若天平平衡，则⑥是特殊的。
若天平不平衡，重的是特殊的。
步骤二：确定至少称重次数
通过上述分析可知，不管是哪种情况，至少称$\boldsymbol{2}$次保证找出特殊的那袋。
综上，答案依次为：不平衡；重的；⑥；重的；$\boldsymbol{2}$。

3. 有一堆玻璃球,其中有一个较重的是次品。杨老师告诉大家:若用天平称,则至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球可能有多少个?

答案： 解：我们知道找次品时，物品数量和至少称量次数有如下关系：
当物品数量在$3^n\lt$物品数量$\leq3^{n + 1}$时，至少需要$n + 1$次能保证找出次品（$n$为正整数）。
这里至少称$3$次，$n+1 = 3$，则$n = 2$。
$3^2=9$，$3^{3}=27$。
所以这堆玻璃球的数量大于$9$个且小于等于$27$个，即这堆玻璃球可能有$10$到$27$个。

4. 新考法 操作探究 根据QC/T326-2013标准,对汽车配件螺栓、螺母标准有明确的规格和系列化的要求。某汽配厂生产了一批螺母,在随机抽检时,其中有一个是次品(次品轻一些),经理叫小张用天平找出来。小张问经理一共有多少个螺母,经理只告诉他总个数是14,15,35和42的最小公倍数。如果你是小张,那么至少称多少次能保证找出这个次品?

答案： 1. 首先求$14$，$15$，$35$和$42$的最小公倍数：
分解质因数：
$14 = 2×7$；
$15 = 3×5$；
$35 = 5×7$；
$42 = 2×3×7$。
最小公倍数$LCM(14,15,35,42)=2×3×5×7 = 210$。
2. 然后根据找次品的规律（利用天平找次品时，把物品尽量平均分成$3$份）：
第一次：把$210$个螺母分成$70$，$70$，$70$三组。
把其中两组放在天平上称，如果平衡，次品在没称的那组；如果不平衡，次品在轻的那组。
第二次：把有次品的$70$个分成$23$，$23$，$24$三组。
把$23$个的两组放在天平上称，如果平衡，次品在$24$个那组；如果不平衡，次品在轻的$23$个那组。
情况一：若次品在$23$个那组。
第三次：把$23$个分成$8$，$8$，$7$三组。
把$8$个的两组放在天平上称，如果平衡，次品在$7$个那组；如果不平衡，次品在轻的$8$个那组。
若次品在$8$个那组：
第四次：把$8$个分成$3$，$3$，$2$三组。
把$3$个的两组放在天平上称，如果平衡，次品在$2$个那组；如果不平衡，次品在轻的$3$个那组。
若次品在$3$个那组：
第五次：把$3$个分成$1$，$1$，$1$三组，任取两个放在天平上称，若平衡，没称的是次品；若不平衡，轻的是次品。
若次品在$2$个那组：
第五次：把$2$个放在天平上称，轻的是次品。
若次品在$7$个那组：
第四次：把$7$个分成$2$，$2$，$3$三组。
把$2$个的两组放在天平上称，如果平衡，次品在$3$个那组；如果不平衡，次品在轻的$2$个那组。
若次品在$3$个那组：
第五次：把$3$个分成$1$，$1$，$1$三组，任取两个放在天平上称，若平衡，没称的是次品；若不平衡，轻的是次品。
若次品在$2$个那组：
第五次：把$2$个放在天平上称，轻的是次品。
情况二：若次品在$24$个那组。
第三次：把$24$个分成$8$，$8$，$8$三组。
任取两组放在天平上称，如果平衡，次品在没称的那组；如果不平衡，次品在轻的那组。
第四次：把有次品的$8$个分成$3$，$3$，$2$三组。
把$3$个的两组放在天平上称，如果平衡，次品在$2$个那组；如果不平衡，次品在轻的$3$个那组。
若次品在$3$个那组：
第五次：把$3$个分成$1$，$1$，$1$三组，任取两个放在天平上称，若平衡，没称的是次品；若不平衡，轻的是次品。
若次品在$2$个那组：
第五次：把$2$个放在天平上称，轻的是次品。
所以至少称$5$次能保证找出这个次品。