《2025年第三学期暑假衔接七年级数学浙教版》

13. 解分式方程：
(1)$\frac {x-3}{2x+1}= \frac {1}{9}$；
(2)$\frac {2+x}{2-x}+\frac {15}{x^{2}-4}= -1$；
(3)$\frac {4}{x}-\frac {2}{x-3}= 0$；
(4)$\frac {x-2}{x+2}-\frac {16}{x^{2}-4}= 1$.

答案：
(1) $ x = 4 $
(2) $ x = \frac{7}{4} $
(3) $ x = 6 $
(4) 无解

14. 已知关于$x的分式方程\frac {1-m}{x-1}-2= \frac {2}{1-x}$.
(1)当$m= -2$时,求这个分式方程的解；
(2)小明认为当$m= 3$时,原分式方程无解,你认为小明的结论正确吗？请说明理由.

答案：
(1) 当 $ m = - 2 $ 时，原方程可化为 $ \frac{3}{x - 1} - 2 = \frac{2}{1 - x} $，解得 $ x = \frac{7}{2} $。检验：当 $ x = \frac{7}{2} $ 时，$ x - 1 \neq 0 $。$ \therefore x = \frac{7}{2} $ 是原方程的解。
(2) 小明的结论正确。理由如下：原方程可化为 $ 1 - m - 2(x - 1) = - 2 $，当 $ m = 3 $ 时，解得 $ x = 1 $。检验：当 $ x = 1 $ 时，$ x - 1 = 0 $，$ \therefore x = 1 $ 是原方程的增根。$ \therefore $ 原分式方程无解。

15. 阅读下列材料：
$x+\frac {1}{x}= c+\frac {1}{c}的解是x_{1}= c$,$x_{2}= \frac {1}{c}$；
$x-\frac {1}{x}= c-\frac {1}{c}$(即$x+\frac {-1}{x}= c+\frac {-1}{c}$)的解是$x_{1}= c$,$x_{2}= -\frac {1}{c}$；
$x+\frac {2}{x}= c+\frac {2}{c}的解是x_{1}= c$,$x_{2}= \frac {2}{c}$；
$x+\frac {3}{x}= c+\frac {3}{c}的解是x_{1}= c$,$x_{2}= \frac {3}{c}$；
…
(1)请观察上述方程与解的特征,猜想方程$x+\frac {m}{x}= c+\frac {m}{c}(m≠0)$的解,并验证你的结论；
(2)利用这个结论解关于$x$的方程：$x+\frac {2}{x-1}= a+\frac {2}{a-1}$.

答案：
(1) 猜想方程 $ x + \frac{m}{x} = c + \frac{m}{c}(m \neq 0) $ 的解是 $ x_{1} = c $，$ x_{2} = \frac{m}{c} $。验证：当 $ x = c $ 时，$ x + \frac{m}{x} = c + \frac{m}{c} $，方程成立；当 $ x = \frac{m}{c} $ 时，$ x + \frac{m}{x} = \frac{m}{c} + \frac{m}{\frac{m}{c}} = \frac{m}{c} + c $，方程成立。
(2) 将方程 $ x + \frac{2}{x - 1} = a + \frac{2}{a - 1} $ 变形为 $ x - 1 + \frac{2}{x - 1} = a - 1 + \frac{2}{a - 1} $，解得 $ x - 1 = a - 1 $ 或 $ x - 1 = \frac{2}{a - 1} $，所以 $ x = a $ 或 $ x = \frac{a + 1}{a - 1} $。