《2025年第三学期暑假衔接七年级数学浙教版》

13. 计算.
(1)$(1 - \frac{1}{x}) ÷ \frac{x^2 - 2x + 1}{x}$;
(2)$(\frac{a - 2}{a + 2} + \frac{8a}{a^2 - 4}) ÷ \frac{a + 2}{a^2 - 2a}$.

答案：
(1) $\frac{1}{x - 1}$
(2) $a$

14. 如果记$f(x) = \frac{x^2}{1 + x^2}$,并且$f(1)表示当x = 1时y$的值,即$f(1) = \frac{1^2}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}$,$f(\frac{1}{2})表示当x = \frac{1}{2}时y$的值,即$f(\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2})^2}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{5}$.
(1)$f(6) = $____,$f(\frac{1}{4}) = $____;
(2)求$f(1) + f(2) + f(\frac{1}{2}) + f(3) + f(\frac{1}{3}) + … + f(n + 1) + f(\frac{1}{n + 1})$的值.(结果用含$n$的代数式表示,$n$是正整数)

答案：
(1) $\frac{36}{37}$，$\frac{1}{17}$
(2) $\because f(n) + f(\frac{1}{n}) = \frac{n^2}{1 + n^2} + \frac{(\frac{1}{n})^2}{1 + (\frac{1}{n})^2} = \frac{n^2}{1 + n^2} + \frac{1}{1 + n^2} = 1$，$\therefore$ 原式 $= \frac{1}{2} + [f(2) + f(\frac{1}{2})] + [f(3) + f(\frac{1}{3})] + \cdots + [f(n + 1) + f(\frac{1}{n + 1})] = \frac{1}{2} + 1 × n = \frac{1}{2} + n$。

15. 水蜜桃上市后,甲、乙两超市分别用60000元以相同的进价购进相同箱数的水蜜桃.甲超市的销售方案是:将水蜜桃按分类包装销售,其中挑出优质大个的水蜜桃400箱,以进价2倍的价格销售,剩下的水蜜桃以高于进价10%的价格销售.乙超市的销售方案是:不将水蜜桃分类,直接包装销售,价格按甲超市两种水蜜桃售价的平均数定价.若两超市将水蜜桃全部售完,其中甲超市获利42000元(其他成本不计),问:
(1)水蜜桃的进价为每箱多少元?
(2)乙超市获利多少元?

答案：
(1) 设水蜜桃的进价为每箱 $x$ 元，由题意，得 $400 × (2x - x) + (\frac{60000}{x} - 400) × 10\%x = 42000$，解得 $x = 100$。经检验，$x = 100$ 是所列分式方程的解，且符合题意。答：水蜜桃的进价为每箱 100 元。
(2) 乙超市购进水蜜桃 $\frac{60000}{100} = 600$（箱），售价为 $\frac{1}{2} × (200 + 110) = 155$（元/箱），故乙超市获利为 $600 × (155 - 100) = 33000$（元）。答：乙超市获利 33000 元。