《2025年第三学期暑假衔接七年级数学浙教版》

11. 如图,$∠A = 60^{\circ}$,$O是AB$上一点,直线$OD与AB的夹角∠BOD = 82^{\circ}$,要使$OD// AC$,则直线$OD绕点O$按逆时针方向至少要旋转______度.

答案： 22

12. 如图,$∠BAM = 75^{\circ}$,$∠BGE = 75^{\circ}$,$∠CHG = 105^{\circ}$,则可推出$AM// EF$,$AB// CD$.完成下面的推理过程(填空).

解：$\because ∠BAM = 75^{\circ}$,$∠BGE = 75^{\circ}$(已知),
$\therefore ∠BAM = ∠BGE$,
$\therefore$______$//$______(同位角相等,两直线平行).
$\because ∠AGH = ∠BGE$(对顶角相等),
$\therefore ∠AGH = 75^{\circ}$,
$\therefore ∠AGH + ∠CHG = 75^{\circ} + 105^{\circ} = 180^{\circ}$,
$\therefore$______$//$______(______)

答案： AM EF AB CD 同旁内角互补，两直线平行

13. 如图,直线$AB$,$CD相交于点O$,$OD平分∠EOB$,$OF平分∠AOE$,$GH⊥CD$,垂足为点$H$,$GH与FO$平行吗？说明理由.

答案： $GH // FO$。理由：
∵ OD 平分 $\angle EOB$，OF 平分 $\angle AOE$，
∴ $\angle EOD = \frac{1}{2} \angle EOB$，$\angle EOF = \frac{1}{2} \angle AOE$。
∵ $\angle AOE + \angle EOB = 180^{\circ}$，
∴ $\angle EOD + \angle EOF = 90^{\circ}$，即 $\angle DOF = 90^{\circ}$。
∵ $GH \perp CD$，
∴ $\angle GHD = 90^{\circ}$。
∴ $\angle DOF = \angle GHD$。
∴ $GH // FO$。

14. 如图,已知点$E在BD$上,$EA平分∠BEF$,$EC平分∠DEF$.
(1)试说明：$AE⊥CE$；
(2)若$∠1 = ∠A$,$∠4 = ∠C$,则$AB与CD$平行吗？为什么？

答案：
(1)
∵ EA 平分 $\angle BEF$，EC 平分 $\angle DEF$，
∴ $\angle 2 = \angle 1 = \frac{1}{2} \angle BEF$，$\angle 3 = \angle 4 = \frac{1}{2} \angle DEF$。
∵ $\angle BEF + \angle DEF = 180^{\circ}$，
∴ $\angle 2 + \angle 3 = \frac{1}{2} (\angle BEF + \angle DEF) = 90^{\circ}$，
∴ $AE \perp CE$。
(2) $AB // CD$。理由：由
(1)，得 $\angle 2 = \angle 1$，$\angle 3 = \angle 4$。又
∵ $\angle 1 = \angle A$，$\angle 4 = \angle C$，
∴ $\angle A = \angle 2$，$\angle 3 = \angle C$，
∴ $AB // EF$，$EF // CD$，
∴ $AB // CD$。

15. (1)如图1,$AB$,$CD$,$EF$是三条公路,且$AB⊥EF$,$CD⊥EF$.判断$AB与CD$的位置关系,并说明理由；
(2)如图2,在(1)的条件下,若小路$OM平分∠EOB$,通往加油站$N的岔道O'N平分∠CO'F$,试判断$OM与O'N$的位置关系,并说明理由.

答案：
(1)
∵ $AB \perp EF$，$CD \perp EF$，
∴ $AB // CD$（同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行）。
(2) 延长 $NO'$ 交 AB 于点 P。
∵ OM 平分 $\angle EOB$，$O'N$ 平分 $\angle CO'F$，
∴ $\angle EOM = \angle FO'N = 45^{\circ}$。
∵ $\angle FO'N = \angle EO'P$，
∴ $\angle EOM$
$= \angle EO'P = 45^{\circ}$。
∴ $OM // O'N$（同位角相等，两直线平行）。