《2025年第三学期暑假衔接七年级数学浙教版》

14. 阅读下面的问题,然后解答。
分解因式：$x^{2}+2x - 3$。
解：原式$=x^{2}+2x + 1 - 1 - 3$
$=(x^{2}+2x + 1)-4$
$=(x + 1)^{2}-4$
$=(x + 1 + 2)(x + 1 - 2)$
$=(x + 3)(x - 1)$。
上述分解因式的方法称为配方法。请体会配方法的特点,用配方法分解因式。
(1)$x^{2}-4x + 3$；
(2)$4x^{2}+12x - 7$。

答案：
(1)$(x - 1)(x - 3)$
(2)$(2x + 7)(2x - 1)$

15. 综合与实践
【问题情境】
(1)对于一个图形,如图1,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个等式,请写出这个等式；

【探究实践】
(2)类比(1),写出图2中所表示的等式；
(3)根据整式乘法的运算法则,通过计算验证(2)中的等式；
(4)利用(2)中得到的结论,解决下面的问题：若$a + b + c = 10$,$ab + ac + bc = 33$,求$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的值；
【拓展应用】
(5)用图3中2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、m张边长分别为a,b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形,写出m所有可能的取值。

答案： 1. （1）
方法一：大正方形面积$(a + b)^2$；
方法二：四个小图形面积之和$a^{2}+2ab + b^{2}$；
所以等式为$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$。
2. （2）
方法一：大正方形面积$(a + b + c)^2$；
方法二：九个小图形面积之和$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac+2bc$；
所以等式为$(a + b + c)^2=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$。
3. （3）
解：根据整式乘法法则$(a + b + c)^2=(a + b + c)(a + b + c)$
$=a(a + b + c)+b(a + b + c)+c(a + b + c)$
$=a^{2}+ab+ac+ab + b^{2}+bc+ac+bc + c^{2}$
$=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$，验证成立。
4. （4）
解：已知$(a + b + c)^2=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$，且$a + b + c = 10$，$ab + ac + bc = 33$。
把$a + b + c = 10$两边平方得$(a + b + c)^2 = 100$，即$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab + ac + bc)=100$。
把$ab + ac + bc = 33$代入上式得$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2×33 = 100$。
则$a^{2}+b^{2}+c^{2}=100 - 66=34$。
5. （5）
设拼成的长方形长为$ma + nb$，宽为$pa+qb$（$m,n,p,q$为正整数），面积为$2a^{2}+3b^{2}+mab$。
情况一：若拼成的图形为长方形$(2a + 3b)(a + b)=2a^{2}+2ab+3ab + 3b^{2}=2a^{2}+3b^{2}+5ab$，此时$m = 5$；
情况二：若拼成的图形为长方形$(a + b)(2a + 3b)$（与上面结果相同）；
情况三：若拼成的图形为长方形$(2a + b)(a + 3b)=2a^{2}+6ab+ab + 3b^{2}=2a^{2}+3b^{2}+7ab$，此时$m = 7$。
所以$m$所有可能的取值为$5$或$7$。