《2025年第三学期暑假衔接七年级数学浙教版》

13. 解下列方程:
(1)$\frac{x}{x - 1} = \frac{4}{x^2 - 1} + 1$;
(2)$\frac{1}{x - 2} + 2 = \frac{1 - x}{2 - x}$.

答案：
(1) $x = 3$
(2) 无解

14. (1)先化简,再求值:$\frac{2a}{a^2 - 4} - \frac{1}{a - 2}$,其中$a = - 1$;
(2)已知$M = \frac{2ab - a^2}{(a - 1)^2}$,$N = \frac{b^2}{(1 - a)^2}$,若$a \neq 1$,请比较$M与N$的大小.

答案：
(1) 原式 $= \frac{1}{a + 2}$。当 $a = -1$ 时，原式 $= \frac{1}{-1 + 2} = 1$。
(2) $M - N = \frac{2ab - a^2}{(a - 1)^2} - \frac{b^2}{(1 - a)^2} = \frac{-(a - b)^2}{(1 - a)^2} \leq 0$，故 $M \leq N$。

15. 我们把形如$x + \frac{ab}{x} = a + b(a,b$不为零),且两个根分别为$x_1 = a,x_2 = b$的方程称为“十字分式方程”.
例:$x + \frac{3}{x} = 4$为“十字分式方程”,可化为$x + \frac{1 × 3}{x} = 1 + 3$,$\therefore x_1 = 1,x_2 = 3$.
再如$x + \frac{8}{x} = - 6$为“十字分式方程”,可化为$x + \frac{(- 2) × (- 4)}{x} = (- 2) + (- 4)$,$\therefore x_1 = - 2,x_2 = - 4$.
应用上面的结论,解答下列问题:
(1)若$x + \frac{6}{x} = - 5$为“十字分式方程”,则$x_1 = $____,$x_2 = $____;
(2)若“十字分式方程”$x - \frac{5}{x} = - 2的两个根分别为x_1 = m,x_2 = n$,求$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值;
(3)若关于$x$的“十字分式方程”$x - \frac{2k^2 + 3k}{x - 2} = - k - 1的两个根分别为x_1,x_2(k ＞ 0,x_1 ＞ x_2)$,求$\frac{x_1 - 2}{x_2 + 1}$的值.

答案：
(1) $-2$，$-3$
(2) 根据题意得：$mn = -5$，$m + n = -2$，$\therefore \frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^2 + n^2}{mn} = \frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn} = \frac{4 + 10}{-5} = -\frac{14}{5}$。
(3) 原方程变为 $x - 2 - \frac{2k^2 + 3k}{x - 2} = -k - 3$，$\therefore x - 2 + \frac{k(-2k - 3)}{x - 2} = k + (-2k - 3)$，$\because k ＞ 0$，$x_1 ＞ x_2$，$\therefore x_1 - 2 = k$，$x_2 - 2 = -2k - 3$，$\therefore \frac{x_1 - 2}{x_2 + 1} = \frac{k}{-2k} = -\frac{1}{2}$。