《2025年春如金卷课时作业AB本九年级数学上册北师大版》

A. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥BC于点E，AC=8，BD=4，则DE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$。

答案： $\frac{8\sqrt{5}}{5}$

B. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，过点D作∠ADC的平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AC⊥BC，且AD//CE。
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若AD=10，△ACD的周长为36，求CB长。
解：(1)证明：∵AB//CD，AD//CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE=∠AED。
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∴平行四边形AECD是菱形；
(2)由(1)可知，四边形AECD是菱形，
∴OA=OC，CD=AD=10，OD=OE，AC⊥DE。
∵△ACD的周长为36，
∴AC=36−AD−CD=36−10−10=16，
∴OA=OC=8。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=$\sqrt{AD^{2}-OA^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$，
∴DE=2OD=12。
∵AC⊥BC，AC⊥DE，
∴DE//BC，
∵AB//CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴CB=DE=12。

答案： 四边形AECD是平行四边形；平行四边形AECD是菱形；四边形BCDE是平行四边形

1. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA=8，OH=6，则菱形ABCD的面积为96。

答案： 96

2. 在四边形ABCD中，AD//BC，点E在边AD上，连接BE，BD，若EB=BC，BD平分∠EBC。
(1)如图1，求证：四边形EBCD是菱形；
(2)如图2，连接CE交BD于点O，若∠A=90°，OB=2OE=4，求AB的长。

(1)证明:∵AD//BC,∴∠ADB=∠DBC。∵BD平分∠EBC,∴∠EBD=∠DBC,∴∠EBD=∠EDB,∴EB=ED。∵EB=BC,∴ED=BC,∵AD//BC,∴四边形EBCD是平行四边形，又∵EB=BC,∴平行四边形EBCD是菱形;
(2)解:∵OB=2OE=4,∴OE=2。由(1)可知,四边形EBCD是菱形，∴BC=BE,CE⊥BD,BD=2OB=8,CE=2OE=4,∠BOE=90°,∴BE=$\sqrt{OB^{2}+OE^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=$$2\sqrt{5}$,∴BC=$2\sqrt{5}$。∵∠A=90°,∴BA⊥AD,∴$S_{菱形EBCD}=BC\cdot AB=\frac{1}{2}CE\cdot BD$,即$2\sqrt{5}AB=\frac{1}{2}×4×8$,∴AB=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$

答案：
(1)证明:
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠DBC。
∵BD平分∠EBC,
∴∠EBD=∠DBC,
∴∠EBD=∠EDB,
∴EB=ED。
∵EB=BC,
∴ED=BC,
∵AD//BC,
∴四边形EBCD是平行四边形，又
∵EB=BC,
∴平行四边形EBCD是菱形;
(2)解:
∵OB=2OE=4,
∴OE=2。由
(1)可知,四边形EBCD是菱形，
∴BC=BE,CE⊥BD,BD=2OB=8,CE=2OE=4,∠BOE=90°,
∴BE=$\sqrt{OB^{2}+OE^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$,
∴BC=2$\sqrt{5}$。
∵∠A=90°,
∴BA⊥AD,
∴$S_{菱形EBCD}=BC\cdot AB=\frac{1}{2}CE\cdot BD$,即$2\sqrt{5}AB=\frac{1}{2}\times4\times8$,
∴AB=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$