《2025年春如金卷课时作业AB本九年级数学上册北师大版》

1. 在平面中,下列命题为真命题的是 (C)
A. 四边相等的四边形是正方形
B. 对角线相等的四边形是菱形
C. 四个角相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形

答案： C

2. 如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是 (C)

A. $ AB // DC $
B. $ AC = BD $
C. $ AC \perp BD $
D. $ AB = DC $

答案： C

3. 如图,将两条宽度均为2的纸条相交成$ 30^{\circ} $的角叠放,则重合部分构成的四边形ABCD的面积为8。

答案： 8

4. 把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图所示的方式折叠,使点B和点D重合,折痕为EF,若$ AB = 3 \mathrm{cm} $, $ BC = 5 \mathrm{cm} $,则重叠部分($ \triangle DEF $)的面积是5.1$ \mathrm{cm}^{2} $。

答案： 5.1 解析：由折叠的性质，可得$A'B'=AB$，$A'E=AE$。在$Rt\triangle A'DE$中，有$A'D^{2}+A'E^{2}=DE^{2}$。又$AE + DE = AD$，可设$DE = x cm$，则$A'E = AD - DE = (5 - x)cm$，列方程，得$3^{2}+(5 - x)^{2}=x^{2}$，解得$x = 3.4$，即$DE = 3.4cm$，所以$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}DE\cdot AB=\frac{1}{2}×3.4×3 = 5.1(cm^{2})$。

5. 如图,在菱形ABCD中,E,F分别是BC和DC边上的点,且$ EC = FC $。求证:$ \angle AEF = \angle AFE $。
证明：∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB = AD = BC = DC$，$∠B = ∠D$。
∵$EC = FC$，
∴$BE = DF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ADF$中，$\begin{cases}AB = AD\\∠B = ∠D\\BE = DF\end{cases}$
∴$\triangle ABE≌\triangle ADF$(SAS)，
∴$AE = AF$，
∴$∠AEF = ∠AFE$。

答案： 证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB = AD = BC = DC$，$∠B = ∠D$。
∵$EC = FC$，
∴$BE = DF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ADF$中，$\begin{cases}AB = AD\\∠B = ∠D\\BE = DF\end{cases}$
∴$\triangle ABE≌\triangle ADF(SAS)$，
∴$AE = AF$，
∴$∠AEF = ∠AFE$。

6. 如图,AC是矩形ABCD的对角线,EF平分AC,且分别交AD,AC,BC于点E,O,F,求证:$ ED = BF $。
证明：∵$EF$平分$AC$，
∴$AO = OC$。
∵四边形$ABCD$为矩形，
∴$AD = BC$，$AD// BC$，
∴$∠EAO = ∠FCO$。
又∵$∠AOE = ∠COF$，
∴$\triangle AOE≌\triangle COF(ASA)$，
∴$AE = CF$，
∴$DE = BF$。

答案： 证明：
∵$EF$平分$AC$，
∴$AO = OC$。
∵四边形$ABCD$为矩形，
∴$AD = BC$，$AD// BC$，
∴$∠EAO = ∠FCO$。
又
∵$∠AOE = ∠COF$，
∴$\triangle AOE≌\triangle COF(ASA)$，
∴$AE = CF$，
∴$DE = BF$。

7. 如图,在$ \triangle ABC $中,AD平分$ \angle BAC $,过点D分别作AC和AB的平行线,交AB于点E,交AC于点F。求证:四边形AEDF是菱形。
证明：∵$DE// AC$，$DF// AB$，
∴四边形$AEDF$是平行四边形。
∵$AD$平分$∠BAC$，
∴$∠EAD = ∠FAD$。
∵$DF// AB$，
∴$∠EAD = ∠FDA$，
∴$∠FAD = ∠FDA$，
∴$AF = FD$，
∴四边形$AEDF$是菱形。

答案： 解：
∵$DE// AC$，$DF// AB$，
∴四边形$AEDF$是平行四边形。
∵$AD$平分$∠BAC$，
∴$∠EAD = ∠FAD$。
∵$DF// AB$，
∴$∠EAD = ∠FDA$，
∴$∠FAD = ∠FDA$，
∴$AF = FD$，
∴四边形$AEDF$是菱形。

8. 如图,在$ \triangle ABC $中,$ AB = AC = 5 $, $ BC = 6 $,AD是BC边上的中线,四边形ADBE是平行四边形。求证:四边形ADBE是矩形。
证明：∵$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的中线，
∴$AD⊥BC$，
∴$∠ADB = 90^{\circ}$。
∵四边形$ADBE$是平行四边形，
∴平行四边形ADBE是矩形。

答案： 证明：
∵$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的中线，
∴$AD⊥BC$，
∴$∠ADB = 90^{\circ}$。
∵四边形$ADBE$是平行四边形，
∴$\square ADBE$是矩形。